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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > phplem4on | Unicode version |
Description: Equinumerosity of successors of an ordinal and a natural number implies equinumerosity of the originals. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
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phplem4on |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bren 6593 |
. . . . 5
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2 | 1 | biimpi 119 |
. . . 4
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3 | 2 | adantl 273 |
. . 3
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4 | f1of1 5320 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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6 | peano2 4467 |
. . . . . . . . 9
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7 | nnon 4481 |
. . . . . . . . 9
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8 | 6, 7 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | ad3antlr 482 |
. . . . . . 7
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10 | sssucid 4295 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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12 | simplll 505 |
. . . . . . 7
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13 | f1imaen2g 6639 |
. . . . . . 7
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14 | 5, 9, 11, 12, 13 | syl22anc 1198 |
. . . . . 6
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15 | 14 | ensymd 6629 |
. . . . 5
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16 | eloni 4255 |
. . . . . . . . 9
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17 | orddif 4420 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | imaeq2d 4837 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad3antrrr 481 |
. . . . . 6
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21 | f1ofn 5322 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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23 | sucidg 4296 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 12, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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25 | fnsnfv 5432 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | difeq2d 3158 |
. . . . . . 7
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28 | imadmrn 4847 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | eqcomi 2117 |
. . . . . . . . . 10
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30 | f1ofo 5328 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | forn 5304 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 30, 31 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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33 | f1odm 5325 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | imaeq2d 4837 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 29, 32, 34 | 3eqtr3a 2169 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | difeq1d 3157 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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38 | dff1o3 5327 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | simprbi 271 |
. . . . . . . . 9
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40 | imadif 5159 |
. . . . . . . . 9
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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43 | 27, 37, 42 | 3eqtr4rd 2156 |
. . . . . 6
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44 | 20, 43 | eqtrd 2145 |
. . . . 5
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45 | 15, 44 | breqtrd 3917 |
. . . 4
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46 | simpllr 506 |
. . . . . 6
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47 | fnfvelrn 5504 |
. . . . . . . 8
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48 | 22, 24, 47 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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49 | 31 | eleq2d 2182 |
. . . . . . . . 9
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50 | 30, 49 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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52 | 48, 51 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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53 | phplem3g 6701 |
. . . . . 6
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54 | 46, 52, 53 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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55 | 54 | ensymd 6629 |
. . . 4
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56 | entr 6630 |
. . . 4
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57 | 45, 55, 56 | syl2anc 406 |
. . 3
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58 | 3, 57 | exlimddv 1850 |
. 2
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59 | 58 | ex 114 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-ral 2393 df-rex 2394 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-br 3894 df-opab 3948 df-tr 3985 df-id 4173 df-iord 4246 df-on 4248 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-er 6381 df-en 6587 |
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