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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > phplem4on | Unicode version |
Description: Equinumerosity of successors of an ordinal and a natural number implies equinumerosity of the originals. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
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phplem4on |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bren 6741 |
. . . . 5
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2 | 1 | biimpi 120 |
. . . 4
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3 | 2 | adantl 277 |
. . 3
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4 | f1of1 5456 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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6 | peano2 4591 |
. . . . . . . . 9
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7 | nnon 4606 |
. . . . . . . . 9
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8 | 6, 7 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | ad3antlr 493 |
. . . . . . 7
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10 | sssucid 4412 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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12 | simplll 533 |
. . . . . . 7
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13 | f1imaen2g 6787 |
. . . . . . 7
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14 | 5, 9, 11, 12, 13 | syl22anc 1239 |
. . . . . 6
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15 | 14 | ensymd 6777 |
. . . . 5
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16 | eloni 4372 |
. . . . . . . . 9
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17 | orddif 4543 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | imaeq2d 4966 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad3antrrr 492 |
. . . . . 6
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21 | f1ofn 5458 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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23 | sucidg 4413 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 12, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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25 | fnsnfv 5571 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | difeq2d 3253 |
. . . . . . 7
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28 | imadmrn 4976 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | eqcomi 2181 |
. . . . . . . . . 10
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30 | f1ofo 5464 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | forn 5437 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 30, 31 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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33 | f1odm 5461 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | imaeq2d 4966 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 29, 32, 34 | 3eqtr3a 2234 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | difeq1d 3252 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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38 | dff1o3 5463 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | simprbi 275 |
. . . . . . . . 9
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40 | imadif 5292 |
. . . . . . . . 9
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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43 | 27, 37, 42 | 3eqtr4rd 2221 |
. . . . . 6
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44 | 20, 43 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
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45 | 15, 44 | breqtrd 4026 |
. . . 4
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46 | simpllr 534 |
. . . . . 6
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47 | fnfvelrn 5644 |
. . . . . . . 8
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48 | 22, 24, 47 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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49 | 31 | eleq2d 2247 |
. . . . . . . . 9
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50 | 30, 49 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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52 | 48, 51 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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53 | phplem3g 6850 |
. . . . . 6
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54 | 46, 52, 53 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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55 | 54 | ensymd 6777 |
. . . 4
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56 | entr 6778 |
. . . 4
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57 | 45, 55, 56 | syl2anc 411 |
. . 3
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58 | 3, 57 | exlimddv 1898 |
. 2
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59 | 58 | ex 115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-br 4001 df-opab 4062 df-tr 4099 df-id 4290 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-er 6529 df-en 6735 |
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