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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > phplem4on | Unicode version |
Description: Equinumerosity of successors of an ordinal and a natural number implies equinumerosity of the originals. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
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phplem4on |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bren 6774 |
. . . . 5
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2 | 1 | biimpi 120 |
. . . 4
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3 | 2 | adantl 277 |
. . 3
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4 | f1of1 5479 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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6 | peano2 4612 |
. . . . . . . . 9
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7 | nnon 4627 |
. . . . . . . . 9
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8 | 6, 7 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | ad3antlr 493 |
. . . . . . 7
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10 | sssucid 4433 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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12 | simplll 533 |
. . . . . . 7
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13 | f1imaen2g 6820 |
. . . . . . 7
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14 | 5, 9, 11, 12, 13 | syl22anc 1250 |
. . . . . 6
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15 | 14 | ensymd 6810 |
. . . . 5
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16 | eloni 4393 |
. . . . . . . . 9
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17 | orddif 4564 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | imaeq2d 4988 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad3antrrr 492 |
. . . . . 6
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21 | f1ofn 5481 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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23 | sucidg 4434 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 12, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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25 | fnsnfv 5596 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | difeq2d 3268 |
. . . . . . 7
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28 | imadmrn 4998 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | eqcomi 2193 |
. . . . . . . . . 10
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30 | f1ofo 5487 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | forn 5460 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 30, 31 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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33 | f1odm 5484 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | imaeq2d 4988 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 29, 32, 34 | 3eqtr3a 2246 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | difeq1d 3267 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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38 | dff1o3 5486 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | simprbi 275 |
. . . . . . . . 9
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40 | imadif 5315 |
. . . . . . . . 9
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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43 | 27, 37, 42 | 3eqtr4rd 2233 |
. . . . . 6
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44 | 20, 43 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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45 | 15, 44 | breqtrd 4044 |
. . . 4
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46 | simpllr 534 |
. . . . . 6
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47 | fnfvelrn 5669 |
. . . . . . . 8
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48 | 22, 24, 47 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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49 | 31 | eleq2d 2259 |
. . . . . . . . 9
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50 | 30, 49 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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52 | 48, 51 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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53 | phplem3g 6885 |
. . . . . 6
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54 | 46, 52, 53 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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55 | 54 | ensymd 6810 |
. . . 4
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56 | entr 6811 |
. . . 4
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57 | 45, 55, 56 | syl2anc 411 |
. . 3
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58 | 3, 57 | exlimddv 1910 |
. 2
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59 | 58 | ex 115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-tr 4117 df-id 4311 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-er 6560 df-en 6768 |
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