Theorem fidcenum 7154

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as E. n e. om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	|- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 7150	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )
2		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> f : n -onto-> A )
4		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> n e. om )
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 7153	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
7	6	exlimdv 1867	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
8	7	rexlimdva 2650	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
9	8	imp 124	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
10	1, 9	impbii 126	1 |- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   omcom 4688   -onto->wfo 5324   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  finct  7314  ctinf  13050