Theorem fidcenum 7273

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as E. n e. om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	|- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 7269	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )
2		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> f : n -onto-> A )
4		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> n e. om )
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 7272	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
7	6	exlimdv 1872	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
8	7	rexlimdva 2668	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
9	8	imp 124	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
10	1, 9	impbii 126	1 |- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   omcom 4737   -onto->wfo 5375   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  finct  7456  ctinf  13321