Theorem fidcenum 6903

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as E. n e. om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	|- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 6899	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )
2		simpll 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> f : n -onto-> A )
4		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> n e. om )
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 6902	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
6	5	ex 114	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
7	6	exlimdv 1799	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
8	7	rexlimdva 2574	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
9	8	imp 123	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
10	1, 9	impbii 125	1 |- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   omcom 4552   -onto->wfo 5171   Fincfn 6688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-1o 6366  df-er 6483  df-en 6689  df-fin 6691

This theorem is referenced by:  finct  7063  ctinf  12255