Theorem fidcenum 7070

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as E. n e. om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	|- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 7066	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )
2		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> f : n -onto-> A )
4		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> n e. om )
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 7069	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
7	6	exlimdv 1843	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
8	7	rexlimdva 2624	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
9	8	imp 124	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
10	1, 9	impbii 126	1 |- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   omcom 4643   -onto->wfo 5275   Fincfn 6837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1o 6512  df-er 6630  df-en 6838  df-fin 6840

This theorem is referenced by:  finct  7230  ctinf  12851