ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenum Unicode version

Theorem fidcenum 6663
Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as  E. n  e. 
om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenum  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e. 
om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Distinct variable group:    A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemim 6659 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
2 simpll 496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
3 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  n  e.  om )
4 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  f :
n -onto-> A )
52, 3, 4fidcenumlemr 6662 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
65ex 113 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  ->  (
f : n -onto-> A  ->  A  e.  Fin ) )
76exlimdv 1747 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  ->  ( E. f  f :
n -onto-> A  ->  A  e. 
Fin ) )
87rexlimdva 2489 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  ( E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A  ->  A  e.  Fin )
)
98imp 122 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
101, 9impbii 124 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e. 
om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 780   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   omcom 4405   -onto->wfo 5013   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator