ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenum Unicode version

Theorem fidcenum 7005
Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as  E. n  e. 
om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenum  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e. 
om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Distinct variable group:    A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemim 7001 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
2 simpll 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
3 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  f :
n -onto-> A )
4 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  n  e.  om )
52, 3, 4fidcenumlemr 7004 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  /\  f : n -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
65ex 115 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  ->  (
f : n -onto-> A  ->  A  e.  Fin ) )
76exlimdv 1830 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  n  e.  om )  ->  ( E. f  f :
n -onto-> A  ->  A  e. 
Fin ) )
87rexlimdva 2611 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  ( E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A  ->  A  e.  Fin )
)
98imp 124 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
101, 9impbii 126 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e. 
om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 835   E.wex 1503    e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   omcom 4618   -onto->wfo 5244   Fincfn 6785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788
This theorem is referenced by:  finct  7165  ctinf  12574
  Copyright terms: Public domain W3C validator