Theorem fidcenum 7131

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as E. n e. om E. f f : n -onto-> A is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	|- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, n, x, y

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 7127	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )
2		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> f : n -onto-> A )
4		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> n e. om )
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 7130	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) /\ f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
7	6	exlimdv 1865	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ n e. om ) -> ( E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
8	7	rexlimdva 2648	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> A e. Fin ) )
9	8	imp 124	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) -> A e. Fin )
10	1, 9	impbii 126	1 |- ( A e. Fin <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   omcom 4682   -onto->wfo 5316   Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by:  finct  7291  ctinf  13009