Theorem fidcenum 6844

Description: A set is finite if and only if it has decidable equality and is finitely enumerable. Proposition 8.1.11 of [AczelRathjen], p. 72. The definition of "finitely enumerable" as ∃𝑛 ∈ ω∃𝑓𝑓:𝑛–onto→𝐴 is Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenum	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fidcenum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemim 6840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))
2		simpll 518	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:𝑛–onto→𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
3		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:𝑛–onto→𝐴) → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
4		simplr 519	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:𝑛–onto→𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
5	2, 3, 4	fidcenumlemr 6843	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:𝑛–onto→𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓:𝑛–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
7	6	exlimdv 1791	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
8	7	rexlimdva 2549	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
9	8	imp 123	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
10	1, 9	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ωcom 4504  –onto→wfo 5121  Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  finct  7001  ctinf  11943