Theorem fidcenumlemr 7030

Description: Lemma for fidcenum 7031. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidcenumlemr.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
fidcenumlemr.f	|- ( ph -> F : N -onto-> A )
fidcenumlemr.n	|- ( ph -> N e. om )

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemr	|- ( ph -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemr

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N -onto-> A )
2		foima 5488	. . 3 |- ( F : N -onto-> A -> ( F " N ) = A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( F " N ) = A )
4		ssid 3204	. . 3 |- N C_ N
5		fidcenumlemr.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N C_ N ) -> N e. om )
7		sseq1 3207	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w C_ N <-> (/) C_ N ) )
8	7	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ (/) C_ N ) ) )
9		imaeq2 5006	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( F " w ) = ( F " (/) ) )
10	9	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " (/) ) e. Fin ) )
11	8, 10	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ N ) -> ( F " (/) ) e. Fin ) ) )
12		sseq1 3207	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w C_ N <-> k C_ N ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ k C_ N ) ) )
14		imaeq2 5006	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F " w ) = ( F " k ) )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " k ) e. Fin ) )
16	13, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) )
17		sseq1 3207	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( w C_ N <-> suc k C_ N ) )
18	17	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ suc k C_ N ) ) )
19		imaeq2 5006	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( F " w ) = ( F " suc k ) )
20	19	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " suc k ) e. Fin ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ suc k C_ N ) -> ( F " suc k ) e. Fin ) ) )
22		sseq1 3207	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w C_ N <-> N C_ N ) )
23	22	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ N C_ N ) ) )
24		imaeq2 5006	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F " w ) = ( F " N ) )
25	24	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " N ) e. Fin ) )
26	23, 25	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin ) ) )
27		ima0 5029	. . . . . . 7 |- ( F " (/) ) = (/)
28		0fin 6954	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
29	27, 28	eqeltri 2269	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) e. Fin
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ N ) -> ( F " (/) ) e. Fin )
31		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ph )
32		fofn 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : N -onto-> A -> F Fn N )
33	1, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F Fn N )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F Fn N )
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> suc k C_ N )
36		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- k e. _V
37	36	sucid 4453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- k e. suc k
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. suc k )
39	35, 38	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. N )
40		fnsnfv 5623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn N /\ k e. N ) -> { ( F ` k ) } = ( F " { k } ) )
41	34, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> { ( F ` k ) } = ( F " { k } ) )
42	41	uneq2d 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) ) )
43		df-suc 4407	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc k = ( k u. { k } )
44	43	imaeq2i 5008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " suc k ) = ( F " ( k u. { k } ) )
45		imaundi 5083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( k u. { k } ) ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) )
46	44, 45	eqtri 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " suc k ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) )
47	42, 46	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F ` k ) e. ( F " k ) )
50	49	snssd 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> { ( F ` k ) } C_ ( F " k ) )
51		ssequn2 3337	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( F ` k ) } C_ ( F " k ) <-> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " k ) )
52	50, 51	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " k ) )
53	48, 52	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) = ( F " k ) )
54		sssucid 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- k C_ suc k
55		sstr 3192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k C_ suc k /\ suc k C_ N ) -> k C_ N )
56	54, 55	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc k C_ N -> k C_ N )
57	56	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k C_ N )
58		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) )
59	31, 57, 58	mp2and 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
60	59	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
61	53, 60	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
63	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
64	31, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F : N -onto-> A )
65		fof 5483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : N -onto-> A -> F : N --> A )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F : N --> A )
67	66, 39	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F ` k ) e. A )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F ` k ) e. A )
69		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " k ) )
70		unsnfi 6989	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F " k ) e. Fin /\ ( F ` k ) e. A /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) e. Fin )
71	63, 68, 69, 70	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) e. Fin )
72	62, 71	eqeltrrd 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
73		fidcenumlemr.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
74	31, 73	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
75		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. om )
76	74, 64, 75, 57, 67	fidcenumlemrk 7029	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " k ) \/ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) )
77	61, 72, 76	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
78	77	exp31 364	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) -> ( ( ph /\ suc k C_ N ) -> ( F " suc k ) e. Fin ) ) )
79	11, 16, 21, 26, 30, 78	finds 4637	. . . 4 |- ( N e. om -> ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin ) )
80	6, 79	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin )
81	4, 80	mpan2 425	. 2 |- ( ph -> ( F " N ) e. Fin )
82	3, 81	eqeltrrd 2274	1 |- ( ph -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   suc csuc 4401   omcom 4627   "cima 4667   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259   Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  fidcenum  7031