Theorem fidcenumlemr 6662

Description: Lemma for fidcenum 6663. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidcenumlemr.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
fidcenumlemr.n	|- ( ph -> N e. om )
fidcenumlemr.f	|- ( ph -> F : N -onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemr	|- ( ph -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemr

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenumlemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N -onto-> A )
2		foima 5238	. . 3 |- ( F : N -onto-> A -> ( F " N ) = A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( F " N ) = A )
4		ssid 3044	. . 3 |- N C_ N
5		fidcenumlemr.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
6	5	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ N C_ N ) -> N e. om )
7		sseq1 3047	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w C_ N <-> (/) C_ N ) )
8	7	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ (/) C_ N ) ) )
9		imaeq2 4770	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( F " w ) = ( F " (/) ) )
10	9	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " (/) ) e. Fin ) )
11	8, 10	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ N ) -> ( F " (/) ) e. Fin ) ) )
12		sseq1 3047	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w C_ N <-> k C_ N ) )
13	12	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ k C_ N ) ) )
14		imaeq2 4770	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F " w ) = ( F " k ) )
15	14	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " k ) e. Fin ) )
16	13, 15	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) )
17		sseq1 3047	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( w C_ N <-> suc k C_ N ) )
18	17	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ suc k C_ N ) ) )
19		imaeq2 4770	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( F " w ) = ( F " suc k ) )
20	19	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " suc k ) e. Fin ) )
21	18, 20	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ suc k C_ N ) -> ( F " suc k ) e. Fin ) ) )
22		sseq1 3047	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w C_ N <-> N C_ N ) )
23	22	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ph /\ w C_ N ) <-> ( ph /\ N C_ N ) ) )
24		imaeq2 4770	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F " w ) = ( F " N ) )
25	24	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F " w ) e. Fin <-> ( F " N ) e. Fin ) )
26	23, 25	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( ph /\ w C_ N ) -> ( F " w ) e. Fin ) <-> ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin ) ) )
27		ima0 4791	. . . . . . 7 |- ( F " (/) ) = (/)
28		0fin 6598	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
29	27, 28	eqeltri 2160	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) e. Fin
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ N ) -> ( F " (/) ) e. Fin )
31		simprl 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ph )
32		fofn 5235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : N -onto-> A -> F Fn N )
33	1, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F Fn N )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F Fn N )
35		simprr 499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> suc k C_ N )
36		vex 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- k e. _V
37	36	sucid 4244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- k e. suc k
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. suc k )
39	35, 38	sseldd 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. N )
40		fnsnfv 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn N /\ k e. N ) -> { ( F ` k ) } = ( F " { k } ) )
41	34, 39, 40	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> { ( F ` k ) } = ( F " { k } ) )
42	41	uneq2d 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) ) )
43		df-suc 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc k = ( k u. { k } )
44	43	imaeq2i 4772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " suc k ) = ( F " ( k u. { k } ) )
45		imaundi 4844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( k u. { k } ) ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) )
46	44, 45	eqtri 2108	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " suc k ) = ( ( F " k ) u. ( F " { k } ) )
47	42, 46	syl6eqr 2138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
48	47	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
49		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F ` k ) e. ( F " k ) )
50	49	snssd 3582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> { ( F ` k ) } C_ ( F " k ) )
51		ssequn2 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( F ` k ) } C_ ( F " k ) <-> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " k ) )
52	50, 51	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " k ) )
53	48, 52	eqtr3d 2122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) = ( F " k ) )
54		sssucid 4242	. . . . . . . . . . . 12 |- k C_ suc k
55		sstr 3033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k C_ suc k /\ suc k C_ N ) -> k C_ N )
56	54, 55	mpan 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc k C_ N -> k C_ N )
57	56	ad2antll 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k C_ N )
58		simplr 497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) )
59	31, 57, 58	mp2and 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
60	59	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
61	53, 60	eqeltrd 2164	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
62	47	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) = ( F " suc k ) )
63	59	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " k ) e. Fin )
64	31, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F : N -onto-> A )
65		fof 5233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : N -onto-> A -> F : N --> A )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> F : N --> A )
67	66, 39	ffvelrnd 5435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F ` k ) e. A )
68	67	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F ` k ) e. A )
69		simpr 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " k ) )
70		unsnfi 6627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F " k ) e. Fin /\ ( F ` k ) e. A /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) e. Fin )
71	63, 68, 69, 70	syl3anc 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( ( F " k ) u. { ( F ` k ) } ) e. Fin )
72	62, 71	eqeltrrd 2165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) /\ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
73		fidcenumlemr.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
74	31, 73	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
75	31, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> N e. om )
76		simpll 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> k e. om )
77	74, 75, 64, 76, 57, 67	fidcenumlemrk 6661	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " k ) \/ -. ( F ` k ) e. ( F " k ) ) )
78	61, 72, 77	mpjaodan 747	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. om /\ ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) ) /\ ( ph /\ suc k C_ N ) ) -> ( F " suc k ) e. Fin )
79	78	exp31 356	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( ( ( ph /\ k C_ N ) -> ( F " k ) e. Fin ) -> ( ( ph /\ suc k C_ N ) -> ( F " suc k ) e. Fin ) ) )
80	11, 16, 21, 26, 30, 79	finds 4415	. . . 4 |- ( N e. om -> ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin ) )
81	6, 80	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ N C_ N ) -> ( F " N ) e. Fin )
82	4, 81	mpan2 416	. 2 |- ( ph -> ( F " N ) e. Fin )
83	3, 82	eqeltrrd 2165	1 |- ( ph -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 780   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   u. cun 2997   C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   suc csuc 4192   omcom 4405   "cima 4441   Fn wfn 5010   -->wf 5011   -onto->wfo 5013   ` cfv 5015   Fincfn 6455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458

This theorem is referenced by:  fidcenum  6663