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Theorem fidcenumlemr 6920
Description: Lemma for fidcenum 6921. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
fidcenumlemr.f  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
fidcenumlemr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemr  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemr
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
2 foima 5415 . . 3  |-  ( F : N -onto-> A  -> 
( F " N
)  =  A )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  =  A )
4 ssid 3162 . . 3  |-  N  C_  N
5 fidcenumlemr.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  N  e.  om )
7 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  N  <->  (/)  C_  N
) )
87anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  w  C_  N
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  N ) ) )
9 imaeq2 4942 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F
" w )  =  ( F " (/) ) )
109eleq1d 2235 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F " w )  e.  Fin  <->  ( F "
(/) )  e.  Fin ) )
118, 10imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w )  e. 
Fin )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  N )  ->  ( F " (/) )  e. 
Fin ) ) )
12 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  C_  N  <->  k  C_  N ) )
1312anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  k  C_  N )
) )
14 imaeq2 4942 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F " w )  =  ( F " k
) )
1514eleq1d 2235 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " k )  e.  Fin ) )
1613, 15imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) ) )
17 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  C_  N  <->  suc  k  C_  N )
)
1817anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) ) )
19 imaeq2 4942 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( F " w
)  =  ( F
" suc  k )
)
2019eleq1d 2235 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( F "
w )  e.  Fin  <->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
22 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  C_  N  <->  N  C_  N
) )
2322anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  N  C_  N )
) )
24 imaeq2 4942 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F " w )  =  ( F " N
) )
2524eleq1d 2235 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " N )  e.  Fin ) )
2623, 25imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) ) )
27 ima0 4963 . . . . . . 7  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
28 0fin 6850 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
2927, 28eqeltri 2239 . . . . . 6  |-  ( F
" (/) )  e.  Fin
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  N
)  ->  ( F "
(/) )  e.  Fin )
31 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ph )
32 fofn 5412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F  Fn  N )
331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  Fn  N )
3431, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F  Fn  N )
35 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  suc  k  C_  N )
36 vex 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
3736sucid 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
suc  k
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  suc  k )
3935, 38sseldd 3143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  N )
40 fnsnfv 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  N  /\  k  e.  N )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F " { k } ) )
4134, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F
" { k } ) )
4241uneq2d 3276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( ( F " k
)  u.  ( F
" { k } ) ) )
43 df-suc 4349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
4443imaeq2i 4944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" suc  k )  =  ( F "
( k  u.  {
k } ) )
45 imaundi 5016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( k  u. 
{ k } ) )  =  ( ( F " k )  u.  ( F " { k } ) )
4644, 45eqtri 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" suc  k )  =  ( ( F
" k )  u.  ( F " {
k } ) )
4742, 46eqtr4di 2217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k
) )
4847adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " suc  k ) )
49 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )
5049snssd 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( F " k ) )
51 ssequn2 3295 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( F `  k
) }  C_  ( F " k )  <->  ( ( F " k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F "
k ) )
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " k
) )
5348, 52eqtr3d 2200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  =  ( F " k ) )
54 sssucid 4393 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  C_  suc  k
55 sstr 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  C_  suc  k  /\  suc  k  C_  N )  ->  k  C_  N
)
5654, 55mpan 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  C_  N  ->  k 
C_  N )
5756ad2antll 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  C_  N )
58 simplr 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) )
5931, 57, 58mp2and 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " k )  e. 
Fin )
6059adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
6153, 60eqeltrd 2243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin )
6247adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k ) )
6359adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F "
k )  e.  Fin )
6431, 1syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N -onto-> A )
65 fof 5410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F : N --> A )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N --> A )
6766, 39ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F `  k )  e.  A )
6867adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F `  k )  e.  A
)
69 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  -.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) )
70 unsnfi 6884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F " k
)  e.  Fin  /\  ( F `  k )  e.  A  /\  -.  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  e. 
Fin )
7163, 68, 69, 70syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  e.  Fin )
7262, 71eqeltrrd 2244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
73 fidcenumlemr.dc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
7431, 73syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
75 simpll 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  om )
7674, 64, 75, 57, 67fidcenumlemrk 6919 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" k )  \/ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) ) )
7761, 72, 76mpjaodan 788 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
7877exp31 362 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )  ->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
7911, 16, 21, 26, 30, 78finds 4577 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) )
806, 79mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  ( F " N )  e.  Fin )
814, 80mpan2 422 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  e.  Fin )
823, 81eqeltrrd 2244 1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 824    = wceq 1343    e. wcel 2136   A.wral 2444    u. cun 3114    C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   suc csuc 4343   omcom 4567   "cima 4607    Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   Fincfn 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709
This theorem is referenced by:  fidcenum  6921
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