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Theorem fidcenumlemr 6809
Description: Lemma for fidcenum 6810. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
fidcenumlemr.f  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
fidcenumlemr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemr  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemr
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
2 foima 5318 . . 3  |-  ( F : N -onto-> A  -> 
( F " N
)  =  A )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  =  A )
4 ssid 3085 . . 3  |-  N  C_  N
5 fidcenumlemr.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
65adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  N  e.  om )
7 sseq1 3088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  N  <->  (/)  C_  N
) )
87anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  w  C_  N
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  N ) ) )
9 imaeq2 4845 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F
" w )  =  ( F " (/) ) )
109eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F " w )  e.  Fin  <->  ( F "
(/) )  e.  Fin ) )
118, 10imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w )  e. 
Fin )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  N )  ->  ( F " (/) )  e. 
Fin ) ) )
12 sseq1 3088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  C_  N  <->  k  C_  N ) )
1312anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  k  C_  N )
) )
14 imaeq2 4845 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F " w )  =  ( F " k
) )
1514eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " k )  e.  Fin ) )
1613, 15imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) ) )
17 sseq1 3088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  C_  N  <->  suc  k  C_  N )
)
1817anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) ) )
19 imaeq2 4845 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( F " w
)  =  ( F
" suc  k )
)
2019eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( F "
w )  e.  Fin  <->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
22 sseq1 3088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  C_  N  <->  N  C_  N
) )
2322anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  N  C_  N )
) )
24 imaeq2 4845 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F " w )  =  ( F " N
) )
2524eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " N )  e.  Fin ) )
2623, 25imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) ) )
27 ima0 4866 . . . . . . 7  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
28 0fin 6744 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
2927, 28eqeltri 2188 . . . . . 6  |-  ( F
" (/) )  e.  Fin
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  N
)  ->  ( F "
(/) )  e.  Fin )
31 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ph )
32 fofn 5315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F  Fn  N )
331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  Fn  N )
3431, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F  Fn  N )
35 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  suc  k  C_  N )
36 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
3736sucid 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
suc  k
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  suc  k )
3935, 38sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  N )
40 fnsnfv 5446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  N  /\  k  e.  N )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F " { k } ) )
4134, 39, 40syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F
" { k } ) )
4241uneq2d 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( ( F " k
)  u.  ( F
" { k } ) ) )
43 df-suc 4261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
4443imaeq2i 4847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" suc  k )  =  ( F "
( k  u.  {
k } ) )
45 imaundi 4919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( k  u. 
{ k } ) )  =  ( ( F " k )  u.  ( F " { k } ) )
4644, 45eqtri 2136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" suc  k )  =  ( ( F
" k )  u.  ( F " {
k } ) )
4742, 46syl6eqr 2166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k
) )
4847adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " suc  k ) )
49 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )
5049snssd 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( F " k ) )
51 ssequn2 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( F `  k
) }  C_  ( F " k )  <->  ( ( F " k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F "
k ) )
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " k
) )
5348, 52eqtr3d 2150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  =  ( F " k ) )
54 sssucid 4305 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  C_  suc  k
55 sstr 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  C_  suc  k  /\  suc  k  C_  N )  ->  k  C_  N
)
5654, 55mpan 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  C_  N  ->  k 
C_  N )
5756ad2antll 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  C_  N )
58 simplr 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) )
5931, 57, 58mp2and 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " k )  e. 
Fin )
6059adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
6153, 60eqeltrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin )
6247adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k ) )
6359adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F "
k )  e.  Fin )
6431, 1syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N -onto-> A )
65 fof 5313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F : N --> A )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N --> A )
6766, 39ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F `  k )  e.  A )
6867adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F `  k )  e.  A
)
69 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  -.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) )
70 unsnfi 6773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F " k
)  e.  Fin  /\  ( F `  k )  e.  A  /\  -.  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  e. 
Fin )
7163, 68, 69, 70syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  e.  Fin )
7262, 71eqeltrrd 2193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
73 fidcenumlemr.dc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
7431, 73syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
75 simpll 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  om )
7674, 64, 75, 57, 67fidcenumlemrk 6808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" k )  \/ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) ) )
7761, 72, 76mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
7877exp31 359 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )  ->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
7911, 16, 21, 26, 30, 78finds 4482 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) )
806, 79mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  ( F " N )  e.  Fin )
814, 80mpan2 419 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  e.  Fin )
823, 81eqeltrrd 2193 1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    u. cun 3037    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   suc csuc 4255   omcom 4472   "cima 4510    Fn wfn 5086   -->wf 5087   -onto->wfo 5089   ` cfv 5091   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  fidcenum  6810
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