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Theorem fidcenumlemr 6662
Description: Lemma for fidcenum 6663. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
fidcenumlemr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
fidcenumlemr.f  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemr  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemr
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : N -onto-> A
)
2 foima 5238 . . 3  |-  ( F : N -onto-> A  -> 
( F " N
)  =  A )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  =  A )
4 ssid 3044 . . 3  |-  N  C_  N
5 fidcenumlemr.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
65adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  N  e.  om )
7 sseq1 3047 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  N  <->  (/)  C_  N
) )
87anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  w  C_  N
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  N ) ) )
9 imaeq2 4770 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F
" w )  =  ( F " (/) ) )
109eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F " w )  e.  Fin  <->  ( F "
(/) )  e.  Fin ) )
118, 10imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w )  e. 
Fin )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  N )  ->  ( F " (/) )  e. 
Fin ) ) )
12 sseq1 3047 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  C_  N  <->  k  C_  N ) )
1312anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  k  C_  N )
) )
14 imaeq2 4770 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F " w )  =  ( F " k
) )
1514eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " k )  e.  Fin ) )
1613, 15imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) ) )
17 sseq1 3047 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  C_  N  <->  suc  k  C_  N )
)
1817anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) ) )
19 imaeq2 4770 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( F " w
)  =  ( F
" suc  k )
)
2019eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( F "
w )  e.  Fin  <->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) )
2118, 20imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  w  C_  N )  ->  ( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
22 sseq1 3047 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  C_  N  <->  N  C_  N
) )
2322anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  w  C_  N )  <->  ( ph  /\  N  C_  N )
) )
24 imaeq2 4770 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F " w )  =  ( F " N
) )
2524eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F " w
)  e.  Fin  <->  ( F " N )  e.  Fin ) )
2623, 25imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  N )  -> 
( F " w
)  e.  Fin )  <->  ( ( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) ) )
27 ima0 4791 . . . . . . 7  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
28 0fin 6598 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
2927, 28eqeltri 2160 . . . . . 6  |-  ( F
" (/) )  e.  Fin
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  N
)  ->  ( F "
(/) )  e.  Fin )
31 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ph )
32 fofn 5235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F  Fn  N )
331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  Fn  N )
3431, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F  Fn  N )
35 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  suc  k  C_  N )
36 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
3736sucid 4244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
suc  k
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  suc  k )
3935, 38sseldd 3026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  N )
40 fnsnfv 5363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  N  /\  k  e.  N )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F " { k } ) )
4134, 39, 40syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  { ( F `  k ) }  =  ( F
" { k } ) )
4241uneq2d 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( ( F " k
)  u.  ( F
" { k } ) ) )
43 df-suc 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
4443imaeq2i 4772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" suc  k )  =  ( F "
( k  u.  {
k } ) )
45 imaundi 4844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( k  u. 
{ k } ) )  =  ( ( F " k )  u.  ( F " { k } ) )
4644, 45eqtri 2108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" suc  k )  =  ( ( F
" k )  u.  ( F " {
k } ) )
4742, 46syl6eqr 2138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F " k
)  u.  { ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k
) )
4847adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " suc  k ) )
49 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )
5049snssd 3582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( F " k ) )
51 ssequn2 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( F `  k
) }  C_  ( F " k )  <->  ( ( F " k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F "
k ) )
5250, 51sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  =  ( F " k
) )
5348, 52eqtr3d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  =  ( F " k ) )
54 sssucid 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  C_  suc  k
55 sstr 3033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  C_  suc  k  /\  suc  k  C_  N )  ->  k  C_  N
)
5654, 55mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  C_  N  ->  k 
C_  N )
5756ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  C_  N )
58 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( ph  /\  k  C_  N )  ->  ( F " k )  e. 
Fin ) )
5931, 57, 58mp2and 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " k )  e. 
Fin )
6059adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
6153, 60eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( F " suc  k )  e.  Fin )
6247adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  =  ( F " suc  k ) )
6359adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F "
k )  e.  Fin )
6431, 1syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N -onto-> A )
65 fof 5233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : N -onto-> A  ->  F : N --> A )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  F : N --> A )
6766, 39ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F `  k )  e.  A )
6867adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F `  k )  e.  A
)
69 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  -.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) )
70 unsnfi 6627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F " k
)  e.  Fin  /\  ( F `  k )  e.  A  /\  -.  ( F `  k )  e.  ( F "
k ) )  -> 
( ( F "
k )  u.  {
( F `  k
) } )  e. 
Fin )
7163, 68, 69, 70syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( ( F
" k )  u. 
{ ( F `  k ) } )  e.  Fin )
7262, 71eqeltrrd 2165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N
)  ->  ( F " k )  e.  Fin ) )  /\  ( ph  /\  suc  k  C_  N ) )  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" k ) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
73 fidcenumlemr.dc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
7431, 73syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
7531, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  N  e.  om )
76 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  k  e.  om )
7774, 75, 64, 76, 57, 67fidcenumlemrk 6661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" k )  \/ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " k ) ) )
7861, 72, 77mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  ( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )
)  /\  ( ph  /\ 
suc  k  C_  N
) )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin )
7978exp31 356 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  k  C_  N )  -> 
( F " k
)  e.  Fin )  ->  ( ( ph  /\  suc  k  C_  N )  ->  ( F " suc  k )  e.  Fin ) ) )
8011, 16, 21, 26, 30, 79finds 4415 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  N  C_  N )  ->  ( F " N )  e. 
Fin ) )
816, 80mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  C_  N
)  ->  ( F " N )  e.  Fin )
824, 81mpan2 416 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " N
)  e.  Fin )
833, 82eqeltrrd 2165 1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    u. cun 2997    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   suc csuc 4192   omcom 4405   "cima 4441    Fn wfn 5010   -->wf 5011   -onto->wfo 5013   ` cfv 5015   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  fidcenum  6663
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