Theorem fieq0 6977

Description: A set is empty iff the class of all the finite intersections of that set is empty. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fieq0	|- ( A e. V -> ( A = (/) <-> ( fi ` A ) = (/) ) )

Proof of Theorem fieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . 3 |- ( A = (/) -> ( fi ` A ) = ( fi ` (/) ) )
2		fi0 6976	. . 3 |- ( fi ` (/) ) = (/)
3	1, 2	eqtrdi 2226	. 2 |- ( A = (/) -> ( fi ` A ) = (/) )
4		ssfii 6975	. . . 4 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
5		sseq0 3466	. . . 4 |- ( ( A C_ ( fi ` A ) /\ ( fi ` A ) = (/) ) -> A = (/) )
6	4, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( fi ` A ) = (/) ) -> A = (/) )
7	6	ex 115	. 2 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
8	3, 7	impbid2 143	1 |- ( A e. V -> ( A = (/) <-> ( fi ` A ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ` cfv 5218   ficfi 6969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-fi 6970

This theorem is referenced by: (None)