Theorem fieq0 7143

Description: A set is empty iff the class of all the finite intersections of that set is empty. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fieq0	|- ( A e. V -> ( A = (/) <-> ( fi ` A ) = (/) ) )

Proof of Theorem fieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5627	. . 3 |- ( A = (/) -> ( fi ` A ) = ( fi ` (/) ) )
2		fi0 7142	. . 3 |- ( fi ` (/) ) = (/)
3	1, 2	eqtrdi 2278	. 2 |- ( A = (/) -> ( fi ` A ) = (/) )
4		ssfii 7141	. . . 4 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
5		sseq0 3533	. . . 4 |- ( ( A C_ ( fi ` A ) /\ ( fi ` A ) = (/) ) -> A = (/) )
6	4, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( fi ` A ) = (/) ) -> A = (/) )
7	6	ex 115	. 2 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
8	3, 7	impbid2 143	1 |- ( A e. V -> ( A = (/) <-> ( fi ` A ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ` cfv 5318   ficfi 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-fi 7136

This theorem is referenced by: (None)