Theorem fi0 7142

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	|- ( fi ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem fi0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. . 3 |- (/) e. _V
2		fival 7137	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x }
4		vprc 4216	. . . 4 |- -. _V e. _V
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = |^| x -> y = |^| x )
6		elinel1 3390	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
7		elpwi 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P (/) -> x C_ (/) )
8		ss0 3532	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ (/) -> x = (/) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
10	9	inteqd 3928	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = |^| (/) )
11		int0 3937	. . . . . . . 8 |- |^| (/) = _V
12	10, 11	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = _V )
13	5, 12	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = _V )
14	13	rexlimiva 2643	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> y = _V )
15		vex 2802	. . . . 5 |- y e. _V
16	14, 15	eqeltrrdi 2321	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> _V e. _V )
17	4, 16	mto 666	. . 3 |- -. E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x
18	17	abf 3535	. 2 |- { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } = (/)
19	3, 18	eqtri 2250	1 |- ( fi ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   |^|cint 3923   ` cfv 5318   Fincfn 6887   ficfi 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-fi 7136

This theorem is referenced by:  fieq0  7143