Theorem fi0 6964

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	|- ( fi ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem fi0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4125	. . 3 |- (/) e. _V
2		fival 6959	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x }
4		vprc 4130	. . . 4 |- -. _V e. _V
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = |^| x -> y = |^| x )
6		elinel1 3319	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
7		elpwi 3581	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P (/) -> x C_ (/) )
8		ss0 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ (/) -> x = (/) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
10	9	inteqd 3845	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = |^| (/) )
11		int0 3854	. . . . . . . 8 |- |^| (/) = _V
12	10, 11	eqtrdi 2224	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = _V )
13	5, 12	sylan9eqr 2230	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = _V )
14	13	rexlimiva 2587	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> y = _V )
15		vex 2738	. . . . 5 |- y e. _V
16	14, 15	eqeltrrdi 2267	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> _V e. _V )
17	4, 16	mto 662	. . 3 |- -. E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x
18	17	abf 3464	. 2 |- { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } = (/)
19	3, 18	eqtri 2196	1 |- ( fi ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146   {cab 2161   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   i^i cin 3126   C_ wss 3127   (/)c0 3420   ~Pcpw 3572   |^|cint 3840   ` cfv 5208   Fincfn 6730   ficfi 6957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733  df-fi 6958

This theorem is referenced by:  fieq0  6965