Theorem fi0 7253

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	|- ( fi ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem fi0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4230	. . 3 |- (/) e. _V
2		fival 7248	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x }
4		vprc 4235	. . . 4 |- -. _V e. _V
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = |^| x -> y = |^| x )
6		elinel1 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
7		elpwi 3674	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P (/) -> x C_ (/) )
8		ss0 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ (/) -> x = (/) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
10	9	inteqd 3947	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = |^| (/) )
11		int0 3956	. . . . . . . 8 |- |^| (/) = _V
12	10, 11	eqtrdi 2281	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = _V )
13	5, 12	sylan9eqr 2287	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = _V )
14	13	rexlimiva 2655	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> y = _V )
15		vex 2815	. . . . 5 |- y e. _V
16	14, 15	eqeltrrdi 2324	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> _V e. _V )
17	4, 16	mto 668	. . 3 |- -. E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x
18	17	abf 3549	. 2 |- { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } = (/)
19	3, 18	eqtri 2253	1 |- ( fi ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2812   i^i cin 3209   C_ wss 3210   (/)c0 3505   ~Pcpw 3665   |^|cint 3942   ` cfv 5343   Fincfn 6966   ficfi 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-iinf 4701

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-er 6758  df-en 6967  df-fin 6969  df-fi 7247

This theorem is referenced by:  fieq0  7254