Theorem fi0 6940

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	|- ( fi ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem fi0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . 3 |- (/) e. _V
2		fival 6935	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x }
4		vprc 4114	. . . 4 |- -. _V e. _V
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = |^| x -> y = |^| x )
6		elinel1 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
7		elpwi 3568	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P (/) -> x C_ (/) )
8		ss0 3449	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ (/) -> x = (/) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
10	9	inteqd 3829	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = |^| (/) )
11		int0 3838	. . . . . . . 8 |- |^| (/) = _V
12	10, 11	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = _V )
13	5, 12	sylan9eqr 2221	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = _V )
14	13	rexlimiva 2578	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> y = _V )
15		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
16	14, 15	eqeltrrdi 2258	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> _V e. _V )
17	4, 16	mto 652	. . 3 |- -. E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x
18	17	abf 3452	. 2 |- { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } = (/)
19	3, 18	eqtri 2186	1 |- ( fi ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   |^|cint 3824   ` cfv 5188   Fincfn 6706   ficfi 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-fi 6934

This theorem is referenced by:  fieq0  6941