Theorem fi0 6871

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	|- ( fi ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem fi0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4063	. . 3 |- (/) e. _V
2		fival 6866	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( fi ` (/) ) = { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x }
4		vprc 4068	. . . 4 |- -. _V e. _V
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = |^| x -> y = |^| x )
6		elinel1 3267	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
7		elpwi 3524	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P (/) -> x C_ (/) )
8		ss0 3408	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ (/) -> x = (/) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
10	9	inteqd 3784	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = |^| (/) )
11		int0 3793	. . . . . . . 8 |- |^| (/) = _V
12	10, 11	eqtrdi 2189	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> |^| x = _V )
13	5, 12	sylan9eqr 2195	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = _V )
14	13	rexlimiva 2547	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> y = _V )
15		vex 2692	. . . . 5 |- y e. _V
16	14, 15	eqeltrrdi 2232	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x -> _V e. _V )
17	4, 16	mto 652	. . 3 |- -. E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x
18	17	abf 3411	. 2 |- { y | E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) y = |^| x } = (/)
19	3, 18	eqtri 2161	1 |- ( fi ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   ~Pcpw 3515   |^|cint 3779   ` cfv 5131   Fincfn 6642   ficfi 6864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645  df-fi 6865

This theorem is referenced by:  fieq0  6872