Theorem ssfii 6915

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2715	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 3842	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 3701	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 3678	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfig 6756	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. Fin )
9	8	elv 2716	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
11		elfir 6914	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1222	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
13	2, 12	eqeltrrid 2245	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
14	13	ex 114	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
15	14	ssrdv 3134	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   =/= wne 2327   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   |^|cint 3807   ` cfv 5169   Fincfn 6682   ficfi 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-fin 6685  df-fi 6910

This theorem is referenced by:  fieq0  6917  fiuni  6919