Theorem ssfii 6951

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 3866	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 3725	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 3702	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfig 6792	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. Fin )
9	8	elv 2734	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
11		elfir 6950	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1235	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
13	2, 12	eqeltrrid 2258	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
14	13	ex 114	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
15	14	ssrdv 3153	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   =/= wne 2340   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   |^|cint 3831   ` cfv 5198   Fincfn 6718   ficfi 6945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-fi 6946

This theorem is referenced by:  fieq0  6953  fiuni  6955