ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfii Unicode version

Theorem ssfii 6828
Description: Any element of a set  A is the intersection of a finite subset of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2661 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21intsn 3774 . . . 4  |-  |^| { x }  =  x
3 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
4 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54snssd 3633 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
61snnz 3610 . . . . . 6  |-  { x }  =/=  (/)
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  =/=  (/) )
8 snfig 6674 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  Fin )
98elv 2662 . . . . . 6  |-  { x }  e.  Fin
109a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
11 elfir 6827 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { x }  C_  A  /\  { x }  =/=  (/)  /\  { x }  e.  Fin )
)  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A ) )
123, 5, 7, 10, 11syl13anc 1201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A
) )
132, 12eqeltrrid 2203 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( fi
`  A ) )
1413ex 114 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( fi `  A ) ) )
1514ssrdv 3071 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463    =/= wne 2283   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   |^|cint 3739   ` cfv 5091   Fincfn 6600   ficfi 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-fi 6823
This theorem is referenced by:  fieq0  6830  fiuni  6832
  Copyright terms: Public domain W3C validator