Theorem ssfii 7164

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 3961	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 3816	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 3789	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfig 6984	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. Fin )
9	8	elv 2804	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
11		elfir 7163	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1273	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
13	2, 12	eqeltrrid 2317	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
15	14	ssrdv 3231	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   |^|cint 3926   ` cfv 5324   Fincfn 6904   ficfi 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-fi 7159

This theorem is referenced by:  fieq0  7166  fiuni  7168