Theorem ssfii 6970

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2740	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 3879	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 3737	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 3711	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfig 6811	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. Fin )
9	8	elv 2741	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
11		elfir 6969	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1240	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
13	2, 12	eqeltrrid 2265	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
15	14	ssrdv 3161	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   =/= wne 2347   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   |^|cint 3844   ` cfv 5215   Fincfn 6737   ficfi 6964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-1o 6414  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740  df-fi 6965

This theorem is referenced by:  fieq0  6972  fiuni  6974