Theorem ssfii 6870

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 3814	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 3673	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 3650	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfig 6716	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. Fin )
9	8	elv 2693	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
11		elfir 6869	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1219	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
13	2, 12	eqeltrrid 2228	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
14	13	ex 114	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
15	14	ssrdv 3108	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   =/= wne 2309   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   |^|cint 3779   ` cfv 5131   Fincfn 6642   ficfi 6864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645  df-fi 6865

This theorem is referenced by:  fieq0  6872  fiuni  6874