ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfii Unicode version

Theorem ssfii 6975
Description: Any element of a set  A is the intersection of a finite subset of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2742 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21intsn 3881 . . . 4  |-  |^| { x }  =  x
3 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
4 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54snssd 3739 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
61snnz 3713 . . . . . 6  |-  { x }  =/=  (/)
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  =/=  (/) )
8 snfig 6816 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  Fin )
98elv 2743 . . . . . 6  |-  { x }  e.  Fin
109a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
11 elfir 6974 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { x }  C_  A  /\  { x }  =/=  (/)  /\  { x }  e.  Fin )
)  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A ) )
123, 5, 7, 10, 11syl13anc 1240 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A
) )
132, 12eqeltrrid 2265 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( fi
`  A ) )
1413ex 115 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( fi `  A ) ) )
1514ssrdv 3163 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148    =/= wne 2347   _Vcvv 2739    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   |^|cint 3846   ` cfv 5218   Fincfn 6742   ficfi 6969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-fi 6970
This theorem is referenced by:  fieq0  6977  fiuni  6979
  Copyright terms: Public domain W3C validator