Theorem fnmpoi 6257

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
fnmpoi.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	|- F Fn ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 |- C e. _V
2	1	rgen2w 2550	. 2 |- A. x e. A A. y e. B C e. _V
3		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
4	3	fnmpo 6255	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V -> F Fn ( A X. B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	1 |- F Fn ( A X. B )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   e. cmpo 5920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194

This theorem is referenced by:  dmmpo  6258  fnoa  6500  fnom  6503  fnoei  6505  fnmap  6709  fnpm  6710  restfn  12854  fngsum  12971  fnpsr  14153