Theorem fnmpoi 6347

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
fnmpoi.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	|- F Fn ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 |- C e. _V
2	1	rgen2w 2586	. 2 |- A. x e. A A. y e. B C e. _V
3		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
4	3	fnmpo 6346	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V -> F Fn ( A X. B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	1 |- F Fn ( A X. B )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   X. cxp 4716   Fn wfn 5312   e. cmpo 6002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285

This theorem is referenced by:  dmmpo  6348  fnoa  6591  fnom  6594  fnoei  6596  fnmap  6800  fnpm  6801  restfn  13271  fngsum  13416  fnpsr  14625  fnmpl  14651