Theorem fnmpoi 6377

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
fnmpoi.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	|- F Fn ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 |- C e. _V
2	1	rgen2w 2589	. 2 |- A. x e. A A. y e. B C e. _V
3		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
4	3	fnmpo 6376	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V -> F Fn ( A X. B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	1 |- F Fn ( A X. B )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   e. cmpo 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313

This theorem is referenced by:  dmmpo  6378  fnoa  6658  fnom  6661  fnoei  6663  fnmap  6867  fnpm  6868  restfn  13406  fngsum  13551  fnpsr  14763  fnmpl  14794