Theorem fnoei 6431

Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoei	|- ↑o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoei

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oexpi 6401	. 2 |- ↑o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) )
2		vex 2733	. . 3 |- y e. _V
3		1on 6402	. . . . 5 |- 1o e. On
4	3	elexi 2742	. . . 4 |- 1o e. _V
5		vex 2733	. . . . . 6 |- z e. _V
6		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
7		omexg 6430	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> ( z .o x ) e. _V )
8	5, 6, 7	mp2an 424	. . . . 5 |- ( z .o x ) e. _V
9		eqid 2170	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) = ( z e. _V |-> ( z .o x ) )
10	8, 9	fnmpti 5326	. . . 4 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) Fn _V
11	4, 10	rdgexg 6368	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V )
12	2, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
13	1, 12	fnmpoi 6183	1 |- ↑o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   |-> cmpt 4050   Oncon0 4348   X. cxp 4609   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   reccrdg 6348   1oc1o 6388   .o comu 6393   ↑_o coei 6394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-oexpi 6401

This theorem is referenced by: (None)