ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoei Unicode version

Theorem fnoei 6467
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnoei  |-o  Fn  ( On  X.  On )

Proof of Theorem fnoei
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexpi 6437 . 2  |-o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x
) ) ,  1o ) `  y )
)
2 vex 2752 . . 3  |-  y  e. 
_V
3 1on 6438 . . . . 5  |-  1o  e.  On
43elexi 2761 . . . 4  |-  1o  e.  _V
5 vex 2752 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 vex 2752 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
7 omexg 6466 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( z  .o  x
)  e.  _V )
85, 6, 7mp2an 426 . . . . 5  |-  ( z  .o  x )  e. 
_V
9 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) )
108, 9fnmpti 5356 . . . 4  |-  ( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x ) )  Fn  _V
114, 10rdgexg 6404 . . 3  |-  ( y  e.  _V  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
)  e.  _V )
122, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
)  e.  _V
131, 12fnmpoi 6219 1  |-o  Fn  ( On  X.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 2158   _Vcvv 2749    |-> cmpt 4076   Oncon0 4375    X. cxp 4636    Fn wfn 5223   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   reccrdg 6384   1oc1o 6424    .o comu 6429   ↑o coei 6430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-oexpi 6437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator