Theorem fnoei 6538

Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoei	|- ↑o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoei

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oexpi 6508	. 2 |- ↑o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) )
2		vex 2775	. . 3 |- y e. _V
3		1on 6509	. . . . 5 |- 1o e. On
4	3	elexi 2784	. . . 4 |- 1o e. _V
5		vex 2775	. . . . . 6 |- z e. _V
6		vex 2775	. . . . . 6 |- x e. _V
7		omexg 6537	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> ( z .o x ) e. _V )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . 5 |- ( z .o x ) e. _V
9		eqid 2205	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) = ( z e. _V |-> ( z .o x ) )
10	8, 9	fnmpti 5404	. . . 4 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) Fn _V
11	4, 10	rdgexg 6475	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V )
12	2, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
13	1, 12	fnmpoi 6289	1 |- ↑o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   |-> cmpt 4105   Oncon0 4410   X. cxp 4673   Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   reccrdg 6455   1oc1o 6495   .o comu 6500   ↑_o coei 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-oexpi 6508

This theorem is referenced by: (None)