Theorem fnoei 6356

Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoei	|- ↑o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoei

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oexpi 6327	. 2 |- ↑o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) )
2		vex 2692	. . 3 |- y e. _V
3		1on 6328	. . . . 5 |- 1o e. On
4	3	elexi 2701	. . . 4 |- 1o e. _V
5		vex 2692	. . . . . 6 |- z e. _V
6		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
7		omexg 6355	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> ( z .o x ) e. _V )
8	5, 6, 7	mp2an 423	. . . . 5 |- ( z .o x ) e. _V
9		eqid 2140	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) = ( z e. _V |-> ( z .o x ) )
10	8, 9	fnmpti 5259	. . . 4 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) Fn _V
11	4, 10	rdgexg 6294	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V )
12	2, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
13	1, 12	fnmpoi 6110	1 |- ↑o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   |-> cmpt 3997   Oncon0 4293   X. cxp 4545   Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   reccrdg 6274   1oc1o 6314   .o comu 6319   ↑_o coei 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-oexpi 6327

This theorem is referenced by: (None)