Theorem fnoa 6679

Description: Functionality and domain of ordinal addition. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoa	|- +o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoa

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oadd 6650	. 2 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
2		vex 2815	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2815	. . . 4 |- x e. _V
4		oafnex 6676	. . . 4 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
5	3, 4	rdgexg 6619	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6398	1 |- +o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   |-> cmpt 4170   Oncon0 4483   suc csuc 4485   X. cxp 4746   Fn wfn 5346   ` cfv 5351   reccrdg 6599   +o coa 6643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650

This theorem is referenced by:  dmaddpi  7636