Theorem fnoa 6620

Description: Functionality and domain of ordinal addition. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoa	|- +o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoa

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oadd 6591	. 2 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
2		vex 2804	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2804	. . . 4 |- x e. _V
4		oafnex 6617	. . . 4 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
5	3, 4	rdgexg 6560	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6373	1 |- +o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   |-> cmpt 4151   Oncon0 4462   suc csuc 4464   X. cxp 4725   Fn wfn 5323   ` cfv 5328   reccrdg 6540   +o coa 6584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-oadd 6591

This theorem is referenced by:  dmaddpi  7550