Theorem fnom 6409

Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnom	|- .o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-omul 6380	. 2 |- .o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) )
2		vex 2724	. . 3 |- y e. _V
3		0ex 4103	. . . 4 |- (/) e. _V
4		vex 2724	. . . . 5 |- x e. _V
5		omfnex 6408	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V
7	3, 6	rdgexg 6348	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V )
8	2, 7	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
9	1, 8	fnmpoi 6164	1 |- .o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   (/)c0 3404   |-> cmpt 4037   Oncon0 4335   X. cxp 4596   Fn wfn 5177   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   reccrdg 6328   +o coa 6372   .o comu 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-oadd 6379  df-omul 6380

This theorem is referenced by:  dmmulpi  7258