Theorem fnom 6617

Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnom	|- .o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-omul 6586	. 2 |- .o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) )
2		vex 2805	. . 3 |- y e. _V
3		0ex 4216	. . . 4 |- (/) e. _V
4		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
5		omfnex 6616	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V
7	3, 6	rdgexg 6554	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V )
8	2, 7	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
9	1, 8	fnmpoi 6367	1 |- .o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   |-> cmpt 4150   Oncon0 4460   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   reccrdg 6534   +o coa 6578   .o comu 6579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586

This theorem is referenced by:  dmmulpi  7545