Theorem fnpm 6656

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	|- ^pm Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6651	. 2 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2		vex 2741	. . . . 5 |- y e. _V
3		vex 2741	. . . . 5 |- x e. _V
4	2, 3	xpex 4742	. . . 4 |- ( y X. x ) e. _V
5	4	pwex 4184	. . 3 |- ~P ( y X. x ) e. _V
6	5	rabex 4148	. 2 |- { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6205	1 |- ^pm Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   {crab 2459   _Vcvv 2738   ~Pcpw 3576   X. cxp 4625   Fun wfun 5211   Fn wfn 5212   ^pm cpm 6649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pm 6651

This theorem is referenced by:  lmfval  13695