Theorem fnpm 6756

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	|- ^pm Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6751	. 2 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2		vex 2776	. . . . 5 |- y e. _V
3		vex 2776	. . . . 5 |- x e. _V
4	2, 3	xpex 4798	. . . 4 |- ( y X. x ) e. _V
5	4	pwex 4235	. . 3 |- ~P ( y X. x ) e. _V
6	5	rabex 4196	. 2 |- { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6302	1 |- ^pm Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   {crab 2489   _Vcvv 2773   ~Pcpw 3621   X. cxp 4681   Fun wfun 5274   Fn wfn 5275   ^pm cpm 6749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pm 6751

This theorem is referenced by:  lmfval  14739