Theorem fnpm 6558

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	|- ^pm Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6553	. 2 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2		vex 2692	. . . . 5 |- y e. _V
3		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
4	2, 3	xpex 4662	. . . 4 |- ( y X. x ) e. _V
5	4	pwex 4115	. . 3 |- ~P ( y X. x ) e. _V
6	5	rabex 4080	. 2 |- { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6110	1 |- ^pm Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   {crab 2421   _Vcvv 2689   ~Pcpw 3515   X. cxp 4545   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ^pm cpm 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pm 6553

This theorem is referenced by:  lmfval  12400