Theorem fnpm 6712

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	|- ^pm Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6707	. 2 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
3		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
4	2, 3	xpex 4775	. . . 4 |- ( y X. x ) e. _V
5	4	pwex 4213	. . 3 |- ~P ( y X. x ) e. _V
6	5	rabex 4174	. 2 |- { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6258	1 |- ^pm Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   {crab 2476   _Vcvv 2760   ~Pcpw 3602   X. cxp 4658   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   ^pm cpm 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pm 6707

This theorem is referenced by:  lmfval  14371