Theorem fnpm 6683

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	⊢ ↑pm Fn (V × V)

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6678	. 2 ⊢ ↑pm = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∣ Fun 𝑓})
2		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	2, 3	xpex 4759	. . . 4 ⊢ (𝑦 × 𝑥) ∈ V
5	4	pwex 4201	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∈ V
6	5	rabex 4162	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∣ Fun 𝑓} ∈ V
7	1, 6	fnmpoi 6230	1 ⊢ ↑pm Fn (V × V)

Syntax hints:  {crab 2472  Vcvv 2752  𝒫 cpw 3590   × cxp 4642  Fun wfun 5229   Fn wfn 5230   ↑_pm cpm 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pm 6678

This theorem is referenced by:  lmfval  14169