Theorem imasgrp2 13004

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasgrp.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasgrp.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasgrp.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasgrp.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasgrp2.r	|- ( ph -> R e. W )
imasgrp2.1	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasgrp2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasgrp2.3	|- ( ph -> .0. e. V )
imasgrp2.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasgrp2.5	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
imasgrp2.6	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
imasgrp2	|- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, x, B   N, p   a, b, p, q, x, y, z, ph   R, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   .+ , p, q, x, y   U, a, b, p, q, x, y, z   V, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x

Allowed substitution hints:   B( y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   N( x, y, z, q, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasgrp.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasgrp.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasgrp2.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 12745	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2188	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		imasgrp.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8		imasgrp.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
9	8	oveqd 5905	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` R ) b ) )
10	9	fveq2d 5531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
11	8	oveqd 5905	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
12	11	fveq2d 5531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( p .+ q ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
14	13	3ad2ant1 1019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
15	7, 14	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
16		eqid 2187	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2187	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
19		imasgrp2.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
20	19	3expb 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
21	20	caovclg 6040	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
22	18, 21	eqeltrrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p ( +g ` R ) q ) e. V )
23	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22	imasaddf 12757	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
24		fovcdm 6030	. . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
25	23, 24	syl3an1 1281	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
26		forn 5453	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
27	3, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
28	27	eleq2d 2257	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
29	27	eleq2d 2257	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
30	27	eleq2d 2257	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
31	28, 29, 30	3anbi123d 1322	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
32		fofn 5452	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
34		fvelrnb 5576	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
35		fvelrnb 5576	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
36		fvelrnb 5576	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
37	34, 35, 36	3anbi123d 1322	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
39	31, 38	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
40		3reeanv 2658	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
41	39, 40	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
42		imasgrp2.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
43	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	oveqd 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) )
45	44	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
46	43	oveqd 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) )
47	46	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
48	42, 45, 47	3eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
49		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
50	19	3adant3r3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
51		simpr3 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
52	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
54		simpr1 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
55	21	caovclg 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
56	55	3adantr1 1157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
57	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
58	49, 54, 56, 57	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
59	48, 53, 58	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
60	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
61	60	3adant3r3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
62	43	oveqd 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
63	62	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
64	61, 63	eqtr4d 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
65	64	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
66	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
67	66	3adant3r1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
68	43	oveqd 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
69	68	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
70	67, 69	eqtr4d 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
71	70	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
73		simp1 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
74		simp2 999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
75	73, 74	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
76		simp3 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
77	75, 76	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
78	74, 76	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
79	73, 78	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
80	77, 79	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
81	72, 80	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
82	81	3exp2 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
83	82	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
84	83	rexlimdv 2603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
85	84	rexlimdvva 2612	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
86	41, 85	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
87	86	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
88		fof 5450	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
89	3, 88	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
90		imasgrp2.3	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
91	89, 90	ffvelcdmd 5665	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
92	33, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
93	28, 92	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
94		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
95	90	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
96		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
97	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
99	8	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .+ = ( +g ` R ) )
100	99	oveqd 5905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` R ) x ) )
101	100	fveq2d 5531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
102		imasgrp2.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
104		oveq2 5896	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
105		id 19	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
106	104, 105	eqeq12d 2202	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
107	103, 106	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
108	107	rexlimdva 2604	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
109	93, 108	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
110	109	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
111	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> F : V --> B )
112		imasgrp2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
113	111, 112	ffvelcdmd 5665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` N ) e. B )
114	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 12756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
115	94, 112, 96, 114	syl3anc 1248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
116	99	oveqd 5905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( N .+ x ) = ( N ( +g ` R ) x ) )
117	116	fveq2d 5531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
118		imasgrp2.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )
119	115, 117, 118	3eqtr2d 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
120		oveq1 5895	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` N ) -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) )
121	120	eqeq1d 2196	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` N ) -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) )
122	121	rspcev 2853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. B /\ ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
123	113, 119, 122	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
124		oveq2 5896	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) = u -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( v ( +g ` U ) u ) )
125	124	eqeq1d 2196	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
126	125	rexbidv 2488	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
127	123, 126	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
128	127	rexlimdva 2604	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
129	93, 128	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
130	129	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) )
131	5, 6, 25, 87, 91, 110, 130	isgrpde 12919	. 2 |- ( ph -> U e. Grp )
132	5, 6, 91, 110, 131	grpidd2 12937	. 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
133	131, 132	jca 306	1 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   X. cxp 4636   ran crn 4639   Fn wfn 5223   -->wf 5224   -onto->wfo 5226   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   0gc0g 12722   "_s cimas 12737   Grpcgrp 12898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-iimas 12740  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901

This theorem is referenced by:  imasgrp  13005  qusgrp2  13007