Theorem imasgrp2 13777

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasgrp.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasgrp.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasgrp.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasgrp.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasgrp2.r	|- ( ph -> R e. W )
imasgrp2.1	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasgrp2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasgrp2.3	|- ( ph -> .0. e. V )
imasgrp2.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasgrp2.5	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
imasgrp2.6	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
imasgrp2	|- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, x, B   N, p   a, b, p, q, x, y, z, ph   R, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   .+ , p, q, x, y   U, a, b, p, q, x, y, z   V, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x

Allowed substitution hints:   B( y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   N( x, y, z, q, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasgrp.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasgrp.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasgrp2.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 13470	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2232	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		imasgrp.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8		imasgrp.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
9	8	oveqd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` R ) b ) )
10	9	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
11	8	oveqd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
12	11	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( p .+ q ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
14	13	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
15	7, 14	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
16		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
19		imasgrp2.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
20	19	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
21	20	caovclg 6185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
22	18, 21	eqeltrrd 2309	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p ( +g ` R ) q ) e. V )
23	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22	imasaddf 13482	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
24		fovcdm 6175	. . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
25	23, 24	syl3an1 1307	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
26		forn 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
27	3, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
28	27	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
29	27	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
30	27	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
31	28, 29, 30	3anbi123d 1349	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
32		fofn 5570	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
34		fvelrnb 5702	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
35		fvelrnb 5702	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
36		fvelrnb 5702	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
37	34, 35, 36	3anbi123d 1349	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
39	31, 38	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
40		3reeanv 2705	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
41	39, 40	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
42		imasgrp2.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
43	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) )
45	44	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
46	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) )
47	46	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
48	42, 45, 47	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
49		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
50	19	3adant3r3 1241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
51		simpr3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
52	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
54		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
55	21	caovclg 6185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
56	55	3adantr1 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
57	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
58	49, 54, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
59	48, 53, 58	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
60	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
61	60	3adant3r3 1241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
62	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
63	62	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
64	61, 63	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
65	64	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
66	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
67	66	3adant3r1 1239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
68	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
69	68	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
70	67, 69	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
71	70	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
73		simp1 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
74		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
75	73, 74	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
76		simp3 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
77	75, 76	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
78	74, 76	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
79	73, 78	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
80	77, 79	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
81	72, 80	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
82	81	3exp2 1252	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
83	82	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
84	83	rexlimdv 2650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
85	84	rexlimdvva 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
86	41, 85	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
87	86	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
88		fof 5568	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
89	3, 88	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
90		imasgrp2.3	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
91	89, 90	ffvelcdmd 5791	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
92	33, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
93	28, 92	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
94		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
95	90	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
96		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
97	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
99	8	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .+ = ( +g ` R ) )
100	99	oveqd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` R ) x ) )
101	100	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
102		imasgrp2.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
104		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
105		id 19	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
106	104, 105	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
107	103, 106	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
108	107	rexlimdva 2651	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
109	93, 108	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
110	109	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
111	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> F : V --> B )
112		imasgrp2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
113	111, 112	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` N ) e. B )
114	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 13481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
115	94, 112, 96, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
116	99	oveqd 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( N .+ x ) = ( N ( +g ` R ) x ) )
117	116	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
118		imasgrp2.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )
119	115, 117, 118	3eqtr2d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
120		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` N ) -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) )
121	120	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` N ) -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) )
122	121	rspcev 2911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. B /\ ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
123	113, 119, 122	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
124		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) = u -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( v ( +g ` U ) u ) )
125	124	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
126	125	rexbidv 2534	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
127	123, 126	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
128	127	rexlimdva 2651	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
129	93, 128	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
130	129	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) )
131	5, 6, 25, 87, 91, 110, 130	isgrpde 13685	. 2 |- ( ph -> U e. Grp )
132	5, 6, 91, 110, 131	grpidd2 13704	. 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
133	131, 132	jca 306	1 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   X. cxp 4729   ran crn 4732   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   "_s cimas 13462   Grpcgrp 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-iimas 13465  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666

This theorem is referenced by:  imasgrp  13778  qusgrp2  13780