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Theorem imasmnd2 13665
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasmnd.v |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasmnd.p |- .+ = ( +g ` R )
imasmnd.f |- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasmnd.e |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasmnd2.r |- ( ph -> R e. W )
imasmnd2.1 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasmnd2.2 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasmnd2.3 |- ( ph -> .0. e. V )
imasmnd2.4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasmnd2.5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )
Assertion
Ref Expression
imasmnd2 |- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
Distinct variable groups:   q, p, x, y, .+   a, b, p, q, x, y, z, ph   U, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x   B, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   R, p, q   V, a, b, p, q, x, y, z
Allowed substitution hints:   B( x, y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)
Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2 imasmnd.v . . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3 imasmnd.f . . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4 imasmnd2.r . . . 4 |- ( ph -> R e. W )
51, 2, 3, 4imasbas 13520 . . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6 eqidd 2233 . . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7 imasmnd.e . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8 imasmnd.p . . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
9 eqid 2232 . . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
11103expb 1231 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
1211caovclg 6207 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 13532 . . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
14 fovcdm 6197 . . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
1513, 14syl3an1 1307 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
16 forn 5593 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
173, 16syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
1817eleq2d 2302 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
1917eleq2d 2302 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
2017eleq2d 2302 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
2118, 19, 203anbi123d 1349 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
22 fofn 5592 . . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
233, 22syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
24 fvelrnb 5724 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
25 fvelrnb 5724 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
26 fvelrnb 5724 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
2724, 25, 263anbi123d 1349 . . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
2823, 27syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
2921, 28bitr3d 190 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
30 3reeanv 2714 . . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
3129, 30bitr4di 198 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
33 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
34103adant3r3 1241 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
35 simpr3 1032 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
38 simpr1 1030 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
3912caovclg 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
40393adantr1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
4233, 38, 40, 41syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4d 2275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
45443adant3r3 1241 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
4645oveq1d 6065 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
48473adant3r1 1239 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
4948oveq2d 6066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
5043, 46, 493eqtr4d 2275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
51 simp1 1024 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
52 simp2 1025 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
5351, 52oveq12d 6068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
54 simp3 1026 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
5553, 54oveq12d 6068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
5652, 54oveq12d 6068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
5751, 56oveq12d 6068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
5950, 58syl5ibcom 155 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
60593exp2 1252 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
6160imp32 257 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
6261rexlimdv 2659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6362rexlimdvva 2668 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6431, 63sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6564imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
66 fof 5590 . . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
673, 66syl 14 . . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
68 imasmnd2.3 . . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
6967, 68ffvelcdmd 5813 . . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
7023, 24syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
7118, 70bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
72 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
7368adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
74 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1274 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
7876, 77eqtrd 2265 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
79 oveq2 6058 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
80 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
8179, 80eqeq12d 2247 . . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8278, 81syl5ibcom 155 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8382rexlimdva 2660 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8471, 83sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8584imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .0. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
8773, 86mpd3an3 1375 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )
8987, 88eqtrd 2265 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) )
90 oveq1 6057 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) )
9190, 80eqeq12d 2247 . . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9289, 91syl5ibcom 155 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9392rexlimdva 2660 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9471, 93sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9594imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u )
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 13650 . 2 |- ( ph -> U e. Mnd )
975, 6, 69, 85, 95grpidd 13596 . 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
9896, 97jca 306 1 |- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   X. cxp 4747   ran crn 4750   Fn wfn 5347   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   "s cimas 13512   Mndcmnd 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-iimas 13515  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630
This theorem is referenced by:  imasmnd  13666
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