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Theorem imasmnd2 13480
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasmnd.v |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasmnd.p |- .+ = ( +g ` R )
imasmnd.f |- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasmnd.e |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasmnd2.r |- ( ph -> R e. W )
imasmnd2.1 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasmnd2.2 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasmnd2.3 |- ( ph -> .0. e. V )
imasmnd2.4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasmnd2.5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )
Assertion
Ref Expression
imasmnd2 |- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
Distinct variable groups:   q, p, x, y, .+   a, b, p, q, x, y, z, ph   U, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x   B, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   R, p, q   V, a, b, p, q, x, y, z
Allowed substitution hints:   B( x, y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)
Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2 imasmnd.v . . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3 imasmnd.f . . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4 imasmnd2.r . . . 4 |- ( ph -> R e. W )
51, 2, 3, 4imasbas 13335 . . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6 eqidd 2230 . . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7 imasmnd.e . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8 imasmnd.p . . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
9 eqid 2229 . . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
11103expb 1228 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
1211caovclg 6157 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 13347 . . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
14 fovcdm 6147 . . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
1513, 14syl3an1 1304 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
16 forn 5550 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
173, 16syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
1817eleq2d 2299 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
1917eleq2d 2299 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
2017eleq2d 2299 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
2118, 19, 203anbi123d 1346 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
22 fofn 5549 . . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
233, 22syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
24 fvelrnb 5680 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
25 fvelrnb 5680 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
26 fvelrnb 5680 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
2724, 25, 263anbi123d 1346 . . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
2823, 27syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
2921, 28bitr3d 190 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
30 3reeanv 2702 . . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
3129, 30bitr4di 198 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
33 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
34103adant3r3 1238 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
35 simpr3 1029 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
38 simpr1 1027 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
3912caovclg 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
40393adantr1 1180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
4233, 38, 40, 41syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4d 2272 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
45443adant3r3 1238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
4645oveq1d 6015 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
48473adant3r1 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
4948oveq2d 6016 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
5043, 46, 493eqtr4d 2272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
51 simp1 1021 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
52 simp2 1022 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
5351, 52oveq12d 6018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
54 simp3 1023 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
5553, 54oveq12d 6018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
5652, 54oveq12d 6018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
5751, 56oveq12d 6018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2244 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
5950, 58syl5ibcom 155 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
60593exp2 1249 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
6160imp32 257 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
6261rexlimdv 2647 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6362rexlimdvva 2656 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6431, 63sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
6564imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
66 fof 5547 . . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
673, 66syl 14 . . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
68 imasmnd2.3 . . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
6967, 68ffvelcdmd 5770 . . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
7023, 24syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
7118, 70bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
72 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
7368adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
74 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1271 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
7876, 77eqtrd 2262 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
79 oveq2 6008 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
80 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
8179, 80eqeq12d 2244 . . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8278, 81syl5ibcom 155 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8382rexlimdva 2648 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8471, 83sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
8584imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13346 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .0. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
8773, 86mpd3an3 1372 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )
8987, 88eqtrd 2262 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) )
90 oveq1 6007 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) )
9190, 80eqeq12d 2244 . . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9289, 91syl5ibcom 155 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9392rexlimdva 2648 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9471, 93sylbid 150 . . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
9594imp 124 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u )
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 13465 . 2 |- ( ph -> U e. Mnd )
975, 6, 69, 85, 95grpidd 13411 . 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
9896, 97jca 306 1 |- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   X. cxp 4716   ran crn 4719   Fn wfn 5312   -->wf 5313   -onto->wfo 5315   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   "s cimas 13327   Mndcmnd 13444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-iimas 13330  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445
This theorem is referenced by:  imasmnd  13481
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