Theorem imasmnd2 13707

Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmnd.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasmnd.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasmnd.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasmnd.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasmnd.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasmnd2.r	|- ( ph -> R e. W )
imasmnd2.1	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasmnd2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasmnd2.3	|- ( ph -> .0. e. V )
imasmnd2.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasmnd2.5	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
imasmnd2	|- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, x, y, .+   a, b, p, q, x, y, z, ph   U, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x   B, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   R, p, q   V, a, b, p, q, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasmnd2

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmnd.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasmnd.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasmnd.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasmnd2.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 13571	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2235	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		imasmnd.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8		imasmnd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
9		eqid 2234	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
10		imasmnd2.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
11	10	3expb 1231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
12	11	caovclg 6215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
13	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12	imasaddf 13583	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
14		fovcdm 6205	. . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
15	13, 14	syl3an1 1307	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
16		forn 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
17	3, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
18	17	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
19	17	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
20	17	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
21	18, 19, 20	3anbi123d 1349	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
22		fofn 5597	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
23	3, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
24		fvelrnb 5729	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
25		fvelrnb 5729	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
26		fvelrnb 5729	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
27	24, 25, 26	3anbi123d 1349	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
28	23, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
29	21, 28	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
30		3reeanv 2716	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
32		imasmnd2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
33		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
34	10	3adant3r3 1241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
35		simpr3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
36	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) )
38		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
39	12	caovclg 6215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
40	39	3adantr1 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
41	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
42	33, 38, 40, 41	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
43	32, 37, 42	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
44	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
45	44	3adant3r3 1241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
46	45	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
47	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
48	47	3adant3r1 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
49	48	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
50	43, 46, 49	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
51		simp1 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
52		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
53	51, 52	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
54		simp3 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
55	53, 54	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
56	52, 54	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
57	51, 56	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
58	55, 57	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
59	50, 58	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
60	59	3exp2 1252	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
61	60	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
62	61	rexlimdv 2661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
63	62	rexlimdvva 2670	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
64	31, 63	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
65	64	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
66		fof 5595	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
67	3, 66	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
68		imasmnd2.3	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
69	67, 68	ffvelcdmd 5818	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
70	23, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
71	18, 70	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
72		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
73	68	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
74		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
75	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. .+ x ) ) )
77		imasmnd2.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
78	76, 77	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
79		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
80		id 19	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
81	79, 80	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
82	78, 81	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
83	82	rexlimdva 2662	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
84	71, 83	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
85	84	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
86	3, 7, 1, 2, 4, 8, 9	imasaddval 13582	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .0. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
87	73, 86	mpd3an3 1375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` ( x .+ .0. ) ) )
88		imasmnd2.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .+ .0. ) ) = ( F ` x ) )
89	87, 88	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) )
90		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) )
91	90, 80	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
92	89, 91	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
93	92	rexlimdva 2662	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
94	71, 93	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u ) )
95	94	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` U ) ( F ` .0. ) ) = u )
96	5, 6, 15, 65, 69, 85, 95	ismndd 13698	. 2 |- ( ph -> U e. Mnd )
97	5, 6, 69, 85, 95	grpidd 13646	. 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
98	96, 97	jca 306	1 |- ( ph -> ( U e. Mnd /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   X. cxp 4752   ran crn 4755   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   "_s cimas 13565   Mndcmnd 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-iimas 13567  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678

This theorem is referenced by:  imasmnd  13708