Theorem imasring 13411

Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasring.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasring.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasring.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasring.t	|- .x. = ( .r ` R )
imasring.o	|- .1. = ( 1r ` R )
imasring.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasring.e1	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasring.e2	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasring.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
imasring	|- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, .+   a, b, p, q, ph   U, a, b, p, q   .1. , p, q   B, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   V, a, b, p, q   .x. , p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   .+ ( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   .1. ( a, b)

Proof of Theorem imasring

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasring.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasring.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasring.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasring.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 12781	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2190	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		eqidd 2190	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` U ) = ( .r ` U ) )
8		imasring.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
10		imasring.e1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
11		ringgrp 13352	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
12	4, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
13		eqid 2189	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14	1, 2, 9, 3, 10, 12, 13	imasgrp 13050	. . . 4 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
15	14	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> U e. Grp )
16		imasring.e2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
17		imasring.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18		eqid 2189	. . . . 5 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
19	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> R e. Ring )
20		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. V )
21	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
22	20, 21	eleqtrd 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. ( Base ` R ) )
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. V )
24	23, 21	eleqtrd 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	25, 17	ringcl 13364	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
27	19, 22, 24, 26	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
28	27, 21	eleqtrrd 2269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. V )
29	28	caovclg 6048	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
30	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29	imasmulf 12796	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B )
31		fovcdm 6038	. . . 4 |- ( ( ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
32	30, 31	syl3an1 1282	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
33		forn 5460	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
34	3, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
35	34	eleq2d 2259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
36	34	eleq2d 2259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
37	34	eleq2d 2259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39		fofn 5459	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
40	3, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
41		fvelrnb 5583	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
42		fvelrnb 5583	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
43		fvelrnb 5583	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
44	41, 42, 43	3anbi123d 1323	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
45	40, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
46	38, 45	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
47		3reeanv 2661	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
48	46, 47	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
49	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Ring )
50		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. V )
51	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
52	50, 51	eleqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
54		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. V )
55	54, 51	eleqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. ( Base ` R ) )
56	55	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
57		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
58	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
59	57, 58	eleqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
60	25, 17	ringass 13367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
61	49, 53, 56, 59, 60	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
62	61	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
64	28	caovclg 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
65	64	3adantr3 1160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
66	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
67	63, 65, 57, 66	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
68		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
69	28	caovclg 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
70	69	3adantr1 1158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
71	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
72	63, 68, 70, 71	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
73	62, 67, 72	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
74	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
75	74	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
76	75	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
77	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
78	77	3adant3r1 1214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
79	78	oveq2d 5911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
81		simp1 999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
82		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
83	81, 82	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( .r ` U ) v ) )
84		simp3 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
85	83, 84	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
86	82, 84	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( .r ` U ) w ) )
87	81, 86	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
88	85, 87	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
89	80, 88	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
90	89	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
91	90	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
92	91	rexlimdv 2606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
93	92	rexlimdvva 2615	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
94	48, 93	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
95	94	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
96	25, 8, 17	ringdi 13369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
97	49, 53, 56, 59, 96	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
98	97	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
99	25, 8	ringacl 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
100	19, 22, 24, 99	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
101	100, 21	eleqtrrd 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. V )
102	101	caovclg 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
103	102	3adantr1 1158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
104	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
105	63, 68, 103, 104	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
106	28	caovclg 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
107	106	3adantr2 1159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
108		eqid 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
109	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 12792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ ( x .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
110	63, 65, 107, 109	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
111	98, 105, 110	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
112	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 12792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
113	112	3adant3r1 1214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
114	113	oveq2d 5911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
115	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
116	115	3adant3r2 1215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
117	75, 116	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
118	111, 114, 117	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
119	82, 84	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
120	81, 119	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
121	81, 84	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( u ( .r ` U ) w ) )
122	83, 121	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
123	120, 122	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
124	118, 123	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
125	124	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
126	125	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
127	126	rexlimdv 2606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
128	127	rexlimdvva 2615	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
129	48, 128	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
130	129	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
131	25, 8, 17	ringdir 13370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
132	49, 53, 56, 59, 131	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
133	132	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
134	101	caovclg 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
135	134	3adantr3 1160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
136	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
137	63, 135, 57, 136	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
138	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 12792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. z ) e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
139	63, 107, 70, 138	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
140	133, 137, 139	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
141	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 12792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
142	141	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
143	142	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
144	116, 78	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
145	140, 143, 144	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
146	81, 82	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
147	146, 84	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
148	121, 86	oveq12d 5913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
149	147, 148	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
150	145, 149	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
151	150	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
152	151	imp32 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
153	152	rexlimdv 2606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
154	153	rexlimdvva 2615	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
155	48, 154	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
156	155	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
157		fof 5457	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
158	3, 157	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
159		imasring.o	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
160	25, 159	ringidcl 13371	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
161	4, 160	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
162	161, 2	eleqtrrd 2269	. . . 4 |- ( ph -> .1. e. V )
163	158, 162	ffvelcdmd 5672	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. B )
164	40, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
165	35, 164	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
166		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
167	162	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .1. e. V )
168		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
169	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .1. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
171	2	eleq2d 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. ( Base ` R ) ) )
172	171	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
173	25, 17, 159	ringlidm 13374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. .x. x ) = x )
174	4, 172, 173	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .1. .x. x ) = x )
175	174	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .1. .x. x ) ) = ( F ` x ) )
176	170, 175	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
177		oveq2 5903	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) )
178		id 19	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
179	177, 178	eqeq12d 2204	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
180	176, 179	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
181	180	rexlimdva 2607	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
182	165, 181	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
183	182	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u )
184	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .1. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
185	167, 184	mpd3an3 1349	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
186	25, 17, 159	ringridm 13375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x .x. .1. ) = x )
187	4, 172, 186	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x .x. .1. ) = x )
188	187	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .x. .1. ) ) = ( F ` x ) )
189	185, 188	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) )
190		oveq1 5902	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) )
191	190, 178	eqeq12d 2204	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
192	189, 191	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
193	192	rexlimdva 2607	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
194	165, 193	sylbid 150	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
195	194	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u )
196	5, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 183, 195	isringd 13392	. 2 |- ( ph -> U e. Ring )
197	163, 5	eleqtrd 2268	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) )
198	5	eleq2d 2259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B <-> u e. ( Base ` U ) ) )
199	182, 194	jcad 307	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
200	198, 199	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. ( Base ` U ) -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
201	200	ralrimiv 2562	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
202		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
203		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( 1r ` U ) = ( 1r ` U )
204	202, 18, 203	isringid 13376	. . . . 5 |- ( U e. Ring -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
205	196, 204	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
206	197, 201, 205	mpbi2and 945	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) )
207	206	eqcomd 2195	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) )
208	196, 207	jca 306	1 |- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   X. cxp 4642   ran crn 4645   Fn wfn 5230   -->wf 5231   -onto->wfo 5233   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   Basecbs 12511   +g cplusg 12586   .rcmulr 12587   0gc0g 12758   "_s cimas 12773   Grpcgrp 12942   1rcur 13310   Ringcrg 13347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-0g 12760  df-iimas 12776  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-minusg 12946  df-mgp 13272  df-ur 13311  df-ring 13349

This theorem is referenced by:  imasringf1  13412  qusring2  13413