Theorem grpsubcl 13383

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubcl.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3	1, 2	grpsubf 13382	. 2 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )
4		fovcdm 6088	. 2 |- ( ( .- : ( B X. B ) --> B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	3, 4	syl3an1 1282	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   X. cxp 4672   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   Grpcgrp 13303   -gcsg 13305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-sbg 13308

This theorem is referenced by:  grpsubsub  13392  grpsubsub4  13396  grpnpncan  13398  grpnnncan2  13400  dfgrp3m  13402  nsgconj  13513  0nsg  13521  nsgid  13522  ghmnsgpreima  13576  ghmeqker  13578  ghmf1  13580  kerf1ghm  13581  conjghm  13583  conjnmz  13586  conjnmzb  13587  abladdsub4  13621  abladdsub  13622  ablpncan3  13624  ablsubsub4  13626  ablpnpcan  13627  ablnnncan  13630  ablnnncan1  13631  aprcotr  14018  lmodvsubcl  14065  2idlcpblrng  14256