Theorem grpsubcl 13726

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubcl.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3	1, 2	grpsubf 13725	. 2 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )
4		fovcdm 6175	. 2 |- ( ( .- : ( B X. B ) --> B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	3, 4	syl3an1 1307	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   Grpcgrp 13646   -gcsg 13648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651

This theorem is referenced by:  grpsubsub  13735  grpsubsub4  13739  grpnpncan  13741  grpnnncan2  13743  dfgrp3m  13745  nsgconj  13856  0nsg  13864  nsgid  13865  ghmnsgpreima  13919  ghmeqker  13921  ghmf1  13923  kerf1ghm  13924  conjghm  13926  conjnmz  13929  conjnmzb  13930  abladdsub4  13964  abladdsub  13965  ablpncan3  13967  ablsubsub4  13969  ablpnpcan  13970  ablnnncan  13973  ablnnncan1  13974  aprcotr  14364  lmodvsubcl  14411  2idlcpblrng  14602