Theorem grpsubcl 13834

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubcl.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3	1, 2	grpsubf 13833	. 2 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )
4		fovcdm 6207	. 2 |- ( ( .- : ( B X. B ) --> B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	3, 4	syl3an1 1307	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   X. cxp 4754   -->wf 5355   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   Basecbs 13302   Grpcgrp 13754   -gcsg 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1re 8239  ax-addrcl 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-inn 9260  df-2 9318  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-plusg 13393  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-grp 13757  df-minusg 13758  df-sbg 13759

This theorem is referenced by:  grpsubsub  13843  grpsubsub4  13847  grpnpncan  13849  grpnnncan2  13851  dfgrp3m  13853  nsgconj  13958  0nsg  13966  nsgid  13967  ghmnsgpreima  14021  ghmeqker  14023  ghmf1  14025  kerf1ghm  14026  conjghm  14028  conjnmz  14031  conjnmzb  14032  abladdsub4  14067  abladdsub  14068  ablpncan3  14070  ablsubsub4  14072  ablpnpcan  14073  ablnnncan  14076  ablnnncan1  14077  aprcotr  14542  lmodvsubcl  14613  2idlcpblrng  14804