Theorem grpsubcl 12904

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubcl.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3	1, 2	grpsubf 12903	. 2 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )
4		fovcdm 6016	. 2 |- ( ( .- : ( B X. B ) --> B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	3, 4	syl3an1 1271	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   Grpcgrp 12831   -gcsg 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-sbg 12836

This theorem is referenced by:  grpsubsub  12913  grpsubsub4  12917  grpnpncan  12919  grpnnncan2  12921  dfgrp3m  12923  nsgconj  13019  0nsg  13027  nsgid  13028  abladdsub4  13070  abladdsub  13071  ablpncan3  13073  ablsubsub4  13075  ablpnpcan  13076  ablnnncan  13079  ablnnncan1  13080  aprcotr  13296