Theorem xpsfrnel2 13428

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 13434. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 13426	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) )
2		fnpr2ob 13422	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
3	2	biimpri 133	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4	3	3ad2ant1 1044	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
5		elex 2814	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
6		elex 2814	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8		3anass 1008	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) )
9		fnpr2o 13421	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) ) )
11		fvpr0o 13423	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) = X )
12	11	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
13		fvpr1o 13424	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) = Y )
14	13	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
15	12, 14	bi2anan9 610	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
18	4, 7, 17	pm5.21nii 711	. 2 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   ifcif 3605   {cpr 3670   <.cop 3672   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   1oc1o 6574   2oc2o 6575   X_cixp 6866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-ixp 6867  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  xpscf  13429  xpsff1o  13431