Theorem xpsfrnel2 13048

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 13054. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 13046	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) )
2		fnpr2ob 13042	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
3	2	biimpri 133	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4	3	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
5		elex 2774	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
6		elex 2774	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8		3anass 984	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) )
9		fnpr2o 13041	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) ) )
11		fvpr0o 13043	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) = X )
12	11	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
13		fvpr1o 13044	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) = Y )
14	13	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
15	12, 14	bi2anan9 606	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
18	4, 7, 17	pm5.21nii 705	. 2 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3451   ifcif 3562   {cpr 3624   <.cop 3626   Fn wfn 5254   ` cfv 5259   1oc1o 6476   2oc2o 6477   X_cixp 6766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-ixp 6767  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  xpscf  13049  xpsff1o  13051