Theorem xpsfrnel2 13379

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 13385. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 13377	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) )
2		fnpr2ob 13373	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
3	2	biimpri 133	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4	3	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
5		elex 2811	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
6		elex 2811	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8		3anass 1006	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) )
9		fnpr2o 13372	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) ) )
11		fvpr0o 13374	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) = X )
12	11	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
13		fvpr1o 13375	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) = Y )
14	13	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
15	12, 14	bi2anan9 608	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
18	4, 7, 17	pm5.21nii 709	. 2 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ifcif 3602   {cpr 3667   <.cop 3669   Fn wfn 5313   ` cfv 5318   1oc1o 6555   2oc2o 6556   X_cixp 6845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-ixp 6846  df-en 6888  df-fin 6890

This theorem is referenced by:  xpscf  13380  xpsff1o  13382