Theorem xpsfrnel2 13644

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 14178. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 13642	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) )
2		fnpr2ob 13638	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
3	2	biimpri 133	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4	3	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
5		elex 2833	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
6		elex 2833	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8		3anass 1013	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) )
9		fnpr2o 13637	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) ) )
11		fvpr0o 13639	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) = X )
12	11	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
13		fvpr1o 13640	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) = Y )
14	13	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
15	12, 14	bi2anan9 614	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
18	4, 7, 17	pm5.21nii 716	. 2 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3635   {cpr 3706   <.cop 3708   Fn wfn 5367   ` cfv 5372   1oc1o 6670   2oc2o 6671   X_cixp 6970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-ixp 6971  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  xpscf  13645  xpsff1o  13647