Theorem xpsfrnel2 12929

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 12935. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 12927	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) )
2		fnpr2ob 12923	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
3	2	biimpri 133	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4	3	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
5		elex 2771	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
6		elex 2771	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8		3anass 984	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) )
9		fnpr2o 12922	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o )
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) ) )
11		fvpr0o 12924	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) = X )
12	11	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
13		fvpr1o 12925	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) = Y )
14	13	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
15	12, 14	bi2anan9 606	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
18	4, 7, 17	pm5.21nii 705	. 2 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` (/) ) e. A /\ ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   ifcif 3557   {cpr 3619   <.cop 3621   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   1oc1o 6462   2oc2o 6463   X_cixp 6752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-ixp 6753  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  xpscf  12930  xpsff1o  12932