Theorem grpasscan2 12980

Description: An associative cancellation law for groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpasscan1.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpasscan2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Proof of Theorem grpasscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1000	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		grplcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4		grpasscan1.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	3, 4	grpinvcl 12964	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
6	5	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7		simp3 1001	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8		grplcan.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	3, 8	grpass 12926	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
10	1, 2, 6, 7, 9	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
11		eqid 2189	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	3, 8, 11, 4	grplinv 12966	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
13	12	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
14	13	oveq2d 5907	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
15	3, 8, 11	grprid 12948	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
16	15	3adant3 1019	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
17	10, 14, 16	3eqtrd 2226	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   +g cplusg 12561   0gc0g 12733   Grpcgrp 12917   invgcminusg 12918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-inn 8939  df-2 8997  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921

This theorem is referenced by:  mulgaddcomlem  13057