Theorem grpasscan2 13471

Description: An associative cancellation law for groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpasscan1.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpasscan2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Proof of Theorem grpasscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1001	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		grplcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4		grpasscan1.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	3, 4	grpinvcl 13455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
6	5	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7		simp3 1002	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8		grplcan.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	3, 8	grpass 13416	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
10	1, 2, 6, 7, 9	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
11		eqid 2206	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	3, 8, 11, 4	grplinv 13457	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
13	12	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
14	13	oveq2d 5973	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
15	3, 8, 11	grprid 13439	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
16	15	3adant3 1020	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
17	10, 14, 16	3eqtrd 2243	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   0gc0g 13163   Grpcgrp 13407   invgcminusg 13408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411

This theorem is referenced by:  mulgaddcomlem  13556