Theorem grpasscan2 13846

Description: An associative cancellation law for groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpasscan1.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpasscan2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Proof of Theorem grpasscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1029	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		grplcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4		grpasscan1.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	3, 4	grpinvcl 13830	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
6	5	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7		simp3 1030	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8		grplcan.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	3, 8	grpass 13791	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
10	1, 2, 6, 7, 9	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	3, 8, 11, 4	grplinv 13832	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
13	12	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
14	13	oveq2d 6091	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( N ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
15	3, 8, 11	grprid 13814	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
16	15	3adant3 1048	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
17	10, 14, 16	3eqtrd 2275	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( N ` Y ) ) .+ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786

This theorem is referenced by:  mulgaddcomlem  13925