Theorem mulgaddcomlem 13102

Description: Lemma for mulgaddcom 13103. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	|- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> G e. Grp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> G e. Grp )
3		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> X e. B )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> X e. B )
5		znegcl 9315	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
8	6, 7	mulgcl 13096	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ -u y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
9	5, 8	syl3an2 1283	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
11		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
12	6, 11	grpinvcl 13007	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
13	12	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
16	6, 15	grpass 12969	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
18	6, 7, 11	mulgneg 13097	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
20	19	oveq1d 5912	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
21	6, 7	mulgcl 13096	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
23	6, 15, 11	grpinvadd 13037	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( y .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
25	19	oveq2d 5913	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
26	6, 15, 11	grpinvadd 13037	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
28		fveq2 5534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2228	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
32	31	oveq2d 5913	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
33	6, 15, 11	grpasscan1 13022	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
35	17, 32, 34	3eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( -u y .x. X ) )
36	35	oveq1d 5912	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
37	6, 15	grpcl 12968	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
40	6, 15, 11	grpasscan2 13023	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
42	36, 41	eqtr3d 2224	1 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   -ucneg 8160   ZZcz 9284   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   Grpcgrp 12960   invgcminusg 12961  ._gcmg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-mulg 13077

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13103