Theorem mulgaddcomlem 13566

Description: Lemma for mulgaddcom 13567. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	|- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> G e. Grp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> G e. Grp )
3		simp3 1002	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> X e. B )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> X e. B )
5		znegcl 9433	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
8	6, 7	mulgcl 13560	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ -u y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
9	5, 8	syl3an2 1284	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
11		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
12	6, 11	grpinvcl 13465	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
13	12	3adant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
16	6, 15	grpass 13426	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1252	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
18	6, 7, 11	mulgneg 13561	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
20	19	oveq1d 5977	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
21	6, 7	mulgcl 13560	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
23	6, 15, 11	grpinvadd 13495	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( y .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
25	19	oveq2d 5978	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
26	6, 15, 11	grpinvadd 13495	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
28		fveq2 5594	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2246	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2245	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
32	31	oveq2d 5978	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
33	6, 15, 11	grpasscan1 13480	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
35	17, 32, 34	3eqtrd 2243	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( -u y .x. X ) )
36	35	oveq1d 5977	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
37	6, 15	grpcl 13425	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
40	6, 15, 11	grpasscan2 13481	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
42	36, 41	eqtr3d 2241	1 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   -ucneg 8274   ZZcz 9402   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   Grpcgrp 13417   invgcminusg 13418  ._gcmg 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-seqfrec 10625  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-mulg 13541

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13567