Theorem mulgaddcomlem 13677

Description: Lemma for mulgaddcom 13678. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	|- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> G e. Grp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> G e. Grp )
3		simp3 1023	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> X e. B )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> X e. B )
5		znegcl 9473	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
8	6, 7	mulgcl 13671	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ -u y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
9	5, 8	syl3an2 1305	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
11		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
12	6, 11	grpinvcl 13576	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
13	12	3adant2 1040	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
16	6, 15	grpass 13537	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
18	6, 7, 11	mulgneg 13672	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
20	19	oveq1d 6015	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
21	6, 7	mulgcl 13671	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
23	6, 15, 11	grpinvadd 13606	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( y .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
25	19	oveq2d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
26	6, 15, 11	grpinvadd 13606	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
28		fveq2 5626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2269	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2268	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
32	31	oveq2d 6016	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
33	6, 15, 11	grpasscan1 13591	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
35	17, 32, 34	3eqtrd 2266	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( -u y .x. X ) )
36	35	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
37	6, 15	grpcl 13536	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
40	6, 15, 11	grpasscan2 13592	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
42	36, 41	eqtr3d 2264	1 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   -ucneg 8314   ZZcz 9442   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529  ._gcmg 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13678