Theorem mulgaddcomlem 13925

Description: Lemma for mulgaddcom 13926. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	|- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> G e. Grp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> G e. Grp )
3		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> X e. B )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> X e. B )
5		znegcl 9654	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
8	6, 7	mulgcl 13919	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ -u y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
9	5, 8	syl3an2 1312	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) e. B )
11		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
12	6, 11	grpinvcl 13830	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
13	12	3adant2 1047	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
16	6, 15	grpass 13791	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) )
18	6, 7, 11	mulgneg 13920	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) )
20	19	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
21	6, 7	mulgcl 13919	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
23	6, 15, 11	grpinvadd 13860	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( y .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
25	19	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
26	6, 15, 11	grpinvadd 13860	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( y .x. X ) ) ) )
28		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( y .x. X ) .+ X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( X .+ ( y .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) )
32	31	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( -u y .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
33	6, 15, 11	grpasscan1 13845	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ ( -u y .x. X ) ) ) = ( -u y .x. X ) )
35	17, 32, 34	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( -u y .x. X ) )
36	35	oveq1d 6090	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
37	6, 15	grpcl 13790	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( -u y .x. X ) e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B )
40	6, 15, 11	grpasscan2 13846	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ ( -u y .x. X ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( X .+ ( -u y .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
42	36, 41	eqtr3d 2273	1 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   -ucneg 8488   ZZcz 9623   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783  ._gcmg 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-mulg 13900

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13926