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Theorem mulgaddcomlem 12891
Description: Lemma for mulgaddcom 12892. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgaddcom.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgaddcom.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .+  X )  =  ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
21adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
43adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  X  e.  B
)
5 znegcl 9270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
86, 7mulgcl 12886 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  e.  B
)
95, 8syl3an2 1272 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  e.  B )
109adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( -u y  .x.  X )  e.  B
)
11 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
126, 11grpinvcl 12808 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B )
13123adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  X
)  e.  B )
1413adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 X )  e.  B )
15 mulgaddcom.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
166, 15grpass 12773 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( -u y  .x.  X )  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  =  ( X  .+  ( (
-u y  .x.  X
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) ) )
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1240 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( X 
.+  ( -u y  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  =  ( X  .+  ( (
-u y  .x.  X
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) ) )
186, 7, 11mulgneg 12887 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( y  .x.  X ) ) )
1918adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  (
y  .x.  X )
) )
2019oveq1d 5884 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  (
y  .x.  X )
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
216, 7mulgcl 12886 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
2221adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
236, 15, 11grpinvadd 12834 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( y  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( X  .+  ( y  .x.  X
) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( y  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) ) )
242, 4, 22, 23syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( X  .+  ( y  .x.  X
) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( y  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) ) )
2519oveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  ( -u y  .x.  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  ( ( invg `  G ) `  (
y  .x.  X )
) ) )
266, 15, 11grpinvadd 12834 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( y  .x.  X
)  .+  X )
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  X
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( y  .x.  X ) ) ) )
272, 22, 4, 26syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .+  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  ( ( invg `  G ) `  (
y  .x.  X )
) ) )
28 fveq2 5511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( y  .x.  X
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( y  .x.  X
)  .+  X )
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( X  .+  ( y  .x.  X
) ) ) )
2928adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .+  X ) )  =  ( ( invg `  G ) `  ( X  .+  ( y  .x.  X ) ) ) )
3025, 27, 293eqtr2rd 2217 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( X  .+  ( y  .x.  X
) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  ( -u y  .x.  X
) ) )
3120, 24, 303eqtr2d 2216 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  X
)  .+  ( -u y  .x.  X ) ) )
3231oveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( X  .+  ( ( -u y  .x.  X )  .+  (
( invg `  G ) `  X
) ) )  =  ( X  .+  (
( ( invg `  G ) `  X
)  .+  ( -u y  .x.  X ) ) ) )
336, 15, 11grpasscan1 12819 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( -u y  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  ( -u y  .x.  X
) ) )  =  ( -u y  .x.  X ) )
342, 4, 10, 33syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( X  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  ( -u y  .x.  X
) ) )  =  ( -u y  .x.  X ) )
3517, 32, 343eqtrd 2214 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( X 
.+  ( -u y  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  =  (
-u y  .x.  X
) )
3635oveq1d 5884 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) 
.+  X )  =  ( ( -u y  .x.  X )  .+  X
) )
376, 15grpcl 12772 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( -u y  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( -u y  .x.  X
) )  e.  B
)
381, 3, 9, 37syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) )  e.  B )
3938adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( X  .+  ( -u y  .x.  X
) )  e.  B
)
406, 15, 11grpasscan2 12820 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  ( -u y  .x.  X
) )  .+  (
( invg `  G ) `  X
) )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( -u y  .x.  X ) ) )
412, 39, 4, 40syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) 
.+  X )  =  ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) ) )
4236, 41eqtr3d 2212 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( ( y  .x.  X )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( y  .x.  X ) ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .+  X )  =  ( X  .+  ( -u y  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   -ucneg 8116   ZZcz 9239   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   Grpcgrp 12764   invgcminusg 12765  .gcmg 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-seqfrec 10429  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707  df-grp 12767  df-minusg 12768  df-mulg 12870
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12892
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