Theorem grprid 13793

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	|- B = ( Base ` G )
grplid.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13768	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grplid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		grplid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	2, 3, 4	mndrid 13703	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   Basecbs 13302   +g cplusg 13380   0gc0g 13559   Mndcmnd 13683   Grpcgrp 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1re 8239  ax-addrcl 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-inn 9260  df-2 9318  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-plusg 13393  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13671  df-mnd 13684  df-grp 13764

This theorem is referenced by:  grpridd  13795  grprcan  13798  grpinvid1  13813  grpinvid2  13814  grpidinv2  13819  grpasscan2  13825  grpidrcan  13826  grpsubid1  13846  grpsubadd  13849  grppncan  13852  mulgaddcom  13905  mulgdirlem  13912  mulgmodid  13920  nmzsubg  13969  0nsg  13973  abladdsub4  14073  rnglz  14190  ringlz  14292  lmod0vrid  14599  lmodfopne  14606