Theorem grpinvf 13620

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	|- ( G e. Grp -> N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpinvfvalg 13615	. 2 |- ( G e. Grp -> N = ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
6	1, 2, 3	grpinveu 13611	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E! y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) )
7		riotacl 5982	. . 3 |- ( E! y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) -> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. B )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. B )
9	5, 8	fmpt3d 5799	1 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   -->wf 5320   ` cfv 5324   iota_crio 5965  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   Grpcgrp 13573   invgcminusg 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577

This theorem is referenced by:  grpinvcl  13621  isgrpinv  13627  grpinvcnv  13641  grpinvf1o  13643  grp1inv  13680  pwsinvg  13685  pwssub  13686  invghm  13906