Theorem gzsumval 13769

Description: Expand out the substitutions in df-gzsum 13672. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval.g	|- ( ph -> G e. V )
gsumval.a	|- ( ph -> A e. X )
gsumval.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
gzsumval	|- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, .0.   m, F, n, x   m, G, n, x   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, m, n)   B( x, m, n)   .+ ( m, n)   V( x, m, n)   X( x, m, n)   .0. ( m, n)

Proof of Theorem gzsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumval.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsumval.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumval.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		gsumval.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
6		gsumval.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
7	5, 6	fexd 5951	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
8	5	fdmd 5543	. 2 |- ( ph -> dom F = A )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	gzsumvalx 13768	1 |- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   iotacio 5338   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428   seqcseq 10905   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   gzsum_gz cgzsu 13670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-0g 13671  df-gzsum 13672

This theorem is used by:  gzsumfzval  13770  gzsumress  13771  gzsum0  13772  gzsumval2  13773