Theorem gzsumval 13710

Description: Expand out the substitutions in df-gzsum 13613. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑚,𝐹,𝑛,𝑥   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑚, 𝑛)   + (𝑚, 𝑛)   𝑉(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑚, 𝑛)   0 (𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem gzsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	fexd 5948	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	5	fdmd 5540	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	gzsumvalx 13709	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ℩cio 5335  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  seqcseq 10884  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610   Σ_gz cgzsu 13611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-0g 13612  df-gzsum 13613

This theorem is used by:  gzsumfzval  13711  gzsumress  13712  gzsum0  13713  gzsumval2  13714