Theorem hmeofn 14279

Description: The set of homeomorphisms is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeofn	|- Homeo Fn ( Top X. Top )

Proof of Theorem hmeofn

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnovex 14173	. . . 4 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> ( j Cn k ) e. _V )
2		rabexg 4161	. . . 4 |- ( ( j Cn k ) e. _V -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
4	3	rgen2a 2544	. 2 |- A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V
5		df-hmeo 14278	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
6	5	fnmpo 6228	. 2 |- ( A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V -> Homeo Fn ( Top X. Top ) )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- Homeo Fn ( Top X. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   _Vcvv 2752   X. cxp 4642   `'ccnv 4643   Fn wfn 5230  (class class class)co 5897   Topctop 13974   Cn ccn 14162   Homeochmeo 14277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-top 13975  df-topon 13988  df-cn 14165  df-hmeo 14278

This theorem is referenced by: (None)