Theorem hmeofn 14976

Description: The set of homeomorphisms is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeofn	|- Homeo Fn ( Top X. Top )

Proof of Theorem hmeofn

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnovex 14870	. . . 4 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> ( j Cn k ) e. _V )
2		rabexg 4227	. . . 4 |- ( ( j Cn k ) e. _V -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
4	3	rgen2a 2584	. 2 |- A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V
5		df-hmeo 14975	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
6	5	fnmpo 6348	. 2 |- ( A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V -> Homeo Fn ( Top X. Top ) )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- Homeo Fn ( Top X. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   Fn wfn 5313  (class class class)co 6001   Topctop 14671   Cn ccn 14859   Homeochmeo 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-map 6797  df-top 14672  df-topon 14685  df-cn 14862  df-hmeo 14975

This theorem is referenced by: (None)