Theorem hmeofn 15028

Description: The set of homeomorphisms is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeofn	|- Homeo Fn ( Top X. Top )

Proof of Theorem hmeofn

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnovex 14922	. . . 4 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> ( j Cn k ) e. _V )
2		rabexg 4233	. . . 4 |- ( ( j Cn k ) e. _V -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
4	3	rgen2a 2586	. 2 |- A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V
5		df-hmeo 15027	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
6	5	fnmpo 6367	. 2 |- ( A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V -> Homeo Fn ( Top X. Top ) )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- Homeo Fn ( Top X. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   Fn wfn 5321  (class class class)co 6018   Topctop 14723   Cn ccn 14911   Homeochmeo 15026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-top 14724  df-topon 14737  df-cn 14914  df-hmeo 15027

This theorem is referenced by: (None)