Theorem hmeofn 13353

Description: The set of homeomorphisms is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeofn	|- Homeo Fn ( Top X. Top )

Proof of Theorem hmeofn

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnovex 13247	. . . 4 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> ( j Cn k ) e. _V )
2		rabexg 4141	. . . 4 |- ( ( j Cn k ) e. _V -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ k e. Top ) -> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V )
4	3	rgen2a 2529	. 2 |- A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V
5		df-hmeo 13352	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
6	5	fnmpo 6193	. 2 |- ( A. j e. Top A. k e. Top { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } e. _V -> Homeo Fn ( Top X. Top ) )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- Homeo Fn ( Top X. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2146   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   X. cxp 4618   `'ccnv 4619   Fn wfn 5203  (class class class)co 5865   Topctop 13046   Cn ccn 13236   Homeochmeo 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-top 13047  df-topon 13060  df-cn 13239  df-hmeo 13352

This theorem is referenced by: (None)