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Theorem dedekindicc 13778
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7456 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicc  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q,
r, x

Proof of Theorem dedekindicc
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemicc 13777 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
13 df-reu 2462 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  E! x
( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
1412, 13sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
15 breq1 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  a  ->  (
q  <  x  <->  a  <  x ) )
1615cbvralv 2703 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. a  e.  L  a  <  x )
17 breq2 4004 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  b  ->  (
x  <  r  <->  x  <  b ) )
1817cbvralv 2703 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. b  e.  U  x  <  b )
1916, 18anbi12i 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) )
2019anbi2i 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )
21 iccssre 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2322sselda 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
2423adantrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  e.  RR )
255adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
261ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  e.  RR )
27 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  ph )
28 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  ( A [,] B ) )
2922sseld 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( q  e.  ( A [,] B )  ->  q  e.  RR ) )
3027, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  RR )
3124adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  x  e.  RR )
321rexrd 7997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  e.  RR* )
342rexrd 7997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  B  e.  RR* )
36 iccgelb 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  q  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  q )
3733, 35, 28, 36syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  <_  q )
38 breq1 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  q  ->  (
a  <  x  <->  q  <  x ) )
39 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A. a  e.  L  a  <  x )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A. a  e.  L  a  <  x )
41 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  L )
4238, 40, 41rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  <  x )
4326, 30, 31, 37, 42lelttrd 8072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  <  x )
4425, 43rexlimddv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A  <  x )
456adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
4624adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  e.  RR )
47 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  ph )
48 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  ( A [,] B ) )
4922sseld 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( A [,] B )  ->  r  e.  RR ) )
5047, 48, 49sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  RR )
512ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  B  e.  RR )
52 breq2 4004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
x  <  b  <->  x  <  r ) )
53 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A. b  e.  U  x  <  b )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  A. b  e.  U  x  <  b )
55 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  U )
5652, 54, 55rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  <  r )
5732ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  A  e.  RR* )
5834ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  B  e.  RR* )
59 iccleub 9918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  r  e.  ( A [,] B
) )  ->  r  <_  B )
6057, 58, 48, 59syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  <_  B )
6146, 50, 51, 56, 60ltletrd 8370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  <  B )
6245, 61rexlimddv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  <  B )
6332adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A  e.  RR* )
6434adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  B  e.  RR* )
65 elioo2 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
6724, 44, 62, 66mpbir3and 1180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6820, 67sylan2b 287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
69 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
7068, 69jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
71 ioossicc 9946 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7271sseli 3151 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
7372ad2antrl 490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
74 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
7573, 74jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
7670, 75impbida 596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) ) )
7776eubidv 2034 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E! x ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  E! x
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) ) )
7814, 77mpbid 147 . 2  |-  ( ph  ->  E! x ( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
79 df-reu 2462 . 2  |-  ( E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  E! x
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8078, 79sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353   E!weu 2026    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457    i^i cin 3128    C_ wss 3129   (/)c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   RR*cxr 7981    < clt 7982    <_ cle 7983   (,)cioo 9875   [,]cicc 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-ioo 9879  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13787
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