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Theorem dedekindicc 13691
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7440 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicc  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q,
r, x

Proof of Theorem dedekindicc
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemicc 13690 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
13 df-reu 2460 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  E! x
( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
1412, 13sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
15 breq1 4001 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  a  ->  (
q  <  x  <->  a  <  x ) )
1615cbvralv 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. a  e.  L  a  <  x )
17 breq2 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  b  ->  (
x  <  r  <->  x  <  b ) )
1817cbvralv 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. b  e.  U  x  <  b )
1916, 18anbi12i 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) )
2019anbi2i 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )
21 iccssre 9926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2322sselda 3153 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
2423adantrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  e.  RR )
255adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
261ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  e.  RR )
27 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  ph )
28 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  ( A [,] B ) )
2922sseld 3152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( q  e.  ( A [,] B )  ->  q  e.  RR ) )
3027, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  RR )
3124adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  x  e.  RR )
321rexrd 7981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  e.  RR* )
342rexrd 7981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  B  e.  RR* )
36 iccgelb 9903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  q  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  q )
3733, 35, 28, 36syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  <_  q )
38 breq1 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  q  ->  (
a  <  x  <->  q  <  x ) )
39 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A. a  e.  L  a  <  x )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A. a  e.  L  a  <  x )
41 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  e.  L )
4238, 40, 41rspcdva 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  -> 
q  <  x )
4326, 30, 31, 37, 42lelttrd 8056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( q  e.  ( A [,] B
)  /\  q  e.  L ) )  ->  A  <  x )
4425, 43rexlimddv 2597 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A  <  x )
456adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
4624adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  e.  RR )
47 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  ph )
48 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  ( A [,] B ) )
4922sseld 3152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( A [,] B )  ->  r  e.  RR ) )
5047, 48, 49sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  RR )
512ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  B  e.  RR )
52 breq2 4002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
x  <  b  <->  x  <  r ) )
53 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A. b  e.  U  x  <  b )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  A. b  e.  U  x  <  b )
55 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  e.  U )
5652, 54, 55rspcdva 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  <  r )
5732ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  A  e.  RR* )
5834ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  B  e.  RR* )
59 iccleub 9902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  r  e.  ( A [,] B
) )  ->  r  <_  B )
6057, 58, 48, 59syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  -> 
r  <_  B )
6146, 50, 51, 56, 60ltletrd 8354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  /\  ( r  e.  ( A [,] B
)  /\  r  e.  U ) )  ->  x  <  B )
6245, 61rexlimddv 2597 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  <  B )
6332adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  A  e.  RR* )
6434adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  B  e.  RR* )
65 elioo2 9892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
6724, 44, 62, 66mpbir3and 1180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. a  e.  L  a  <  x  /\  A. b  e.  U  x  <  b ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6820, 67sylan2b 287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
69 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
7068, 69jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
71 ioossicc 9930 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7271sseli 3149 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
7372ad2antrl 490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
74 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
7573, 74jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
7670, 75impbida 596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) ) )
7776eubidv 2032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E! x ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  E! x
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) ) )
7814, 77mpbid 147 . 2  |-  ( ph  ->  E! x ( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
79 df-reu 2460 . 2  |-  ( E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  E! x
( x  e.  ( A (,) B )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8078, 79sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A (,) B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353   E!weu 2024    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   E!wreu 2455    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3420   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   RR*cxr 7965    < clt 7966    <_ cle 7967   (,)cioo 9859   [,]cicc 9862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-ioo 9863  df-icc 9866  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976
This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13700
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