Theorem dedekindicc 15444

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7746 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	|- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		dedekindicc.um	. . . . 5 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 15443	. . . 4 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
13		df-reu 2518	. . . 4 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
15		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( q = a -> ( q < x <-> a < x ) )
16	15	cbvralv 2768	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. L q < x <-> A. a e. L a < x )
17		breq2 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( r = b -> ( x < r <-> x < b ) )
18	17	cbvralv 2768	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. U x < r <-> A. b e. U x < b )
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) )
21		iccssre 10251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
23	22	sselda 3228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. RR )
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> ph )
28		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
29	22	sseld 3227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> q e. RR ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. RR )
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> x e. RR )
32	1	rexrd 8288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR* )
34	2	rexrd 8288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> B e. RR* )
36		iccgelb 10228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ q e. ( A [,] B ) ) -> A <_ q )
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A <_ q )
38		breq1 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = q -> ( a < x <-> q < x ) )
39		simprrl 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. a e. L a < x )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A. a e. L a < x )
41		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. L )
42	38, 40, 41	rspcdva 2916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q < x )
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8363	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A < x )
44	25, 43	rexlimddv 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A < x )
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> ph )
48		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
49	22	sseld 3227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> r e. RR ) )
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. RR )
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR )
52		breq2 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( x < b <-> x < r ) )
53		simprrr 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. b e. U x < b )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A. b e. U x < b )
55		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. U )
56	52, 54, 55	rspcdva 2916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < r )
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A e. RR* )
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR* )
59		iccleub 10227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ r e. ( A [,] B ) ) -> r <_ B )
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r <_ B )
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < B )
62	45, 61	rexlimddv 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x < B )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A e. RR* )
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> B e. RR* )
65		elioo2 10217	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
69		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
71		ioossicc 10255	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
72	71	sseli 3224	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
74		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
76	70, 75	impbida 600	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
77	76	eubidv 2087	. . 3 |- ( ph -> ( E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
78	14, 77	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
79		df-reu 2518	. 2 |- ( E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
80	78, 79	sylibr 134	1 |- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E!weu 2079   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   E!wreu 2513   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   RR*cxr 8272   < clt 8273   <_ cle 8274   (,)cioo 10184   [,]cicc 10187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-ioo 10188  df-icc 10191  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15453