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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dedekindicc | Unicode version |
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7456 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.) |
Ref | Expression |
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dedekindicc.a |
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dedekindicc.b |
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dedekindicc.lss |
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dedekindicc.uss |
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dedekindicc.lm |
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dedekindicc.um |
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dedekindicc.lr |
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dedekindicc.ur |
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dedekindicc.disj |
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dedekindicc.loc |
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dedekindicc.ab |
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Ref | Expression |
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dedekindicc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dedekindicc.a |
. . . . 5
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2 | dedekindicc.b |
. . . . 5
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3 | dedekindicc.lss |
. . . . 5
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4 | dedekindicc.uss |
. . . . 5
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5 | dedekindicc.lm |
. . . . 5
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6 | dedekindicc.um |
. . . . 5
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7 | dedekindicc.lr |
. . . . 5
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8 | dedekindicc.ur |
. . . . 5
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9 | dedekindicc.disj |
. . . . 5
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10 | dedekindicc.loc |
. . . . 5
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11 | dedekindicc.ab |
. . . . 5
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12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | dedekindicclemicc 13777 |
. . . 4
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13 | df-reu 2462 |
. . . 4
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14 | 12, 13 | sylib 122 |
. . 3
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15 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | cbvralv 2703 |
. . . . . . . . 9
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17 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | cbvralv 2703 |
. . . . . . . . 9
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19 | 16, 18 | anbi12i 460 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | anbi2i 457 |
. . . . . . 7
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21 | iccssre 9942 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 1, 2, 21 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | sselda 3155 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | adantrr 479 |
. . . . . . . 8
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25 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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26 | 1 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
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27 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 22 | sseld 3154 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 27, 28, 29 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 24 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 1 | rexrd 7997 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 2 | rexrd 7997 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | iccgelb 9919 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 33, 35, 28, 36 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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38 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | simprrl 539 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 38, 40, 41 | rspcdva 2846 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 26, 30, 31, 37, 42 | lelttrd 8072 |
. . . . . . . . 9
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44 | 25, 43 | rexlimddv 2599 |
. . . . . . . 8
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45 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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46 | 24 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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47 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 22 | sseld 3154 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 47, 48, 49 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 2 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
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52 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | simprrr 540 |
. . . . . . . . . . . 12
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54 | 53 | adantr 276 |
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55 | simprr 531 |
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56 | 52, 54, 55 | rspcdva 2846 |
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57 | 32 | ad2antrr 488 |
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58 | 34 | ad2antrr 488 |
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59 | iccleub 9918 |
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60 | 57, 58, 48, 59 | syl3anc 1238 |
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61 | 46, 50, 51, 56, 60 | ltletrd 8370 |
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62 | 45, 61 | rexlimddv 2599 |
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63 | 32 | adantr 276 |
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64 | 34 | adantr 276 |
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65 | elioo2 9908 |
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66 | 63, 64, 65 | syl2anc 411 |
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67 | 24, 44, 62, 66 | mpbir3and 1180 |
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68 | 20, 67 | sylan2b 287 |
. . . . . 6
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69 | simprr 531 |
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70 | 68, 69 | jca 306 |
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71 | ioossicc 9946 |
. . . . . . . 8
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72 | 71 | sseli 3151 |
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73 | 72 | ad2antrl 490 |
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74 | simprr 531 |
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75 | 73, 74 | jca 306 |
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76 | 70, 75 | impbida 596 |
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77 | 76 | eubidv 2034 |
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78 | 14, 77 | mpbid 147 |
. 2
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79 | df-reu 2462 |
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80 | 78, 79 | sylibr 134 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 ax-pre-suploc 7923 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-ioo 9879 df-icc 9882 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 |
This theorem is referenced by: ivthinclemex 13787 |
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