Theorem dedekindicc 13778

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7456 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	|- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		dedekindicc.um	. . . . 5 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 13777	. . . 4 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
13		df-reu 2462	. . . 4 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
15		breq1 4003	. . . . . . . . . 10 |- ( q = a -> ( q < x <-> a < x ) )
16	15	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. L q < x <-> A. a e. L a < x )
17		breq2 4004	. . . . . . . . . 10 |- ( r = b -> ( x < r <-> x < b ) )
18	17	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. U x < r <-> A. b e. U x < b )
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) )
21		iccssre 9942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
23	22	sselda 3155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. RR )
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> ph )
28		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
29	22	sseld 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> q e. RR ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. RR )
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> x e. RR )
32	1	rexrd 7997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR* )
34	2	rexrd 7997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> B e. RR* )
36		iccgelb 9919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ q e. ( A [,] B ) ) -> A <_ q )
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A <_ q )
38		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = q -> ( a < x <-> q < x ) )
39		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. a e. L a < x )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A. a e. L a < x )
41		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. L )
42	38, 40, 41	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q < x )
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A < x )
44	25, 43	rexlimddv 2599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A < x )
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> ph )
48		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
49	22	sseld 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> r e. RR ) )
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. RR )
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR )
52		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( x < b <-> x < r ) )
53		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. b e. U x < b )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A. b e. U x < b )
55		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. U )
56	52, 54, 55	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < r )
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A e. RR* )
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR* )
59		iccleub 9918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ r e. ( A [,] B ) ) -> r <_ B )
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r <_ B )
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < B )
62	45, 61	rexlimddv 2599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x < B )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A e. RR* )
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> B e. RR* )
65		elioo2 9908	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
69		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
71		ioossicc 9946	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
72	71	sseli 3151	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
74		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
76	70, 75	impbida 596	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
77	76	eubidv 2034	. . 3 |- ( ph -> ( E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
78	14, 77	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
79		df-reu 2462	. 2 |- ( E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
80	78, 79	sylibr 134	1 |- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E!weu 2026   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   (,)cioo 9875   [,]cicc 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-ioo 9879  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13787