Theorem dedekindicc 13691

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7440 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	|- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		dedekindicc.um	. . . . 5 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 13690	. . . 4 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
13		df-reu 2460	. . . 4 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
15		breq1 4001	. . . . . . . . . 10 |- ( q = a -> ( q < x <-> a < x ) )
16	15	cbvralv 2701	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. L q < x <-> A. a e. L a < x )
17		breq2 4002	. . . . . . . . . 10 |- ( r = b -> ( x < r <-> x < b ) )
18	17	cbvralv 2701	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. U x < r <-> A. b e. U x < b )
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) )
21		iccssre 9926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
23	22	sselda 3153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. RR )
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> ph )
28		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
29	22	sseld 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> q e. RR ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. RR )
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> x e. RR )
32	1	rexrd 7981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR* )
34	2	rexrd 7981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> B e. RR* )
36		iccgelb 9903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ q e. ( A [,] B ) ) -> A <_ q )
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A <_ q )
38		breq1 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = q -> ( a < x <-> q < x ) )
39		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. a e. L a < x )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A. a e. L a < x )
41		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. L )
42	38, 40, 41	rspcdva 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q < x )
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A < x )
44	25, 43	rexlimddv 2597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A < x )
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> ph )
48		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
49	22	sseld 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> r e. RR ) )
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. RR )
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR )
52		breq2 4002	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( x < b <-> x < r ) )
53		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. b e. U x < b )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A. b e. U x < b )
55		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. U )
56	52, 54, 55	rspcdva 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < r )
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A e. RR* )
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR* )
59		iccleub 9902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ r e. ( A [,] B ) ) -> r <_ B )
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r <_ B )
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < B )
62	45, 61	rexlimddv 2597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x < B )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A e. RR* )
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> B e. RR* )
65		elioo2 9892	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
69		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
71		ioossicc 9930	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
72	71	sseli 3149	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
74		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
76	70, 75	impbida 596	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
77	76	eubidv 2032	. . 3 |- ( ph -> ( E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
78	14, 77	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
79		df-reu 2460	. 2 |- ( E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
80	78, 79	sylibr 134	1 |- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E!weu 2024   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   E!wreu 2455   i^i cin 3126   C_ wss 3127   (/)c0 3420   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   RR*cxr 7965   < clt 7966   <_ cle 7967   (,)cioo 9859   [,]cicc 9862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-ioo 9863  df-icc 9866  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13700