Theorem dedekindicc 15105

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7579 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	|- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		dedekindicc.um	. . . . 5 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 15104	. . . 4 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
13		df-reu 2491	. . . 4 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
15		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( q = a -> ( q < x <-> a < x ) )
16	15	cbvralv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. L q < x <-> A. a e. L a < x )
17		breq2 4048	. . . . . . . . . 10 |- ( r = b -> ( x < r <-> x < b ) )
18	17	cbvralv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. U x < r <-> A. b e. U x < b )
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) )
21		iccssre 10077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
23	22	sselda 3193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. RR )
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> ph )
28		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
29	22	sseld 3192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> q e. RR ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. RR )
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> x e. RR )
32	1	rexrd 8122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR* )
34	2	rexrd 8122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> B e. RR* )
36		iccgelb 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ q e. ( A [,] B ) ) -> A <_ q )
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A <_ q )
38		breq1 4047	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = q -> ( a < x <-> q < x ) )
39		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. a e. L a < x )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A. a e. L a < x )
41		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. L )
42	38, 40, 41	rspcdva 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q < x )
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A < x )
44	25, 43	rexlimddv 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A < x )
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> ph )
48		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
49	22	sseld 3192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> r e. RR ) )
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. RR )
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR )
52		breq2 4048	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( x < b <-> x < r ) )
53		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. b e. U x < b )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A. b e. U x < b )
55		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. U )
56	52, 54, 55	rspcdva 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < r )
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A e. RR* )
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR* )
59		iccleub 10053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ r e. ( A [,] B ) ) -> r <_ B )
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r <_ B )
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < B )
62	45, 61	rexlimddv 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x < B )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A e. RR* )
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> B e. RR* )
65		elioo2 10043	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
69		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
71		ioossicc 10081	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
72	71	sseli 3189	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
74		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
76	70, 75	impbida 596	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
77	76	eubidv 2062	. . 3 |- ( ph -> ( E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
78	14, 77	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
79		df-reu 2491	. 2 |- ( E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
80	78, 79	sylibr 134	1 |- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   E!weu 2054   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   RR*cxr 8106   < clt 8107   <_ cle 8108   (,)cioo 10010   [,]cicc 10013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045  ax-pre-suploc 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-ioo 10014  df-icc 10017  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15114