Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicc Unicode version

Theorem dedekindicc 12769
 Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7267 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a
dedekindicc.b
dedekindicc.lss
dedekindicc.uss
dedekindicc.lm
dedekindicc.um
dedekindicc.lr
dedekindicc.ur
dedekindicc.disj
dedekindicc.loc
dedekindicc.ab
Assertion
Ref Expression
dedekindicc
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem dedekindicc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . . . 5
2 dedekindicc.b . . . . 5
3 dedekindicc.lss . . . . 5
4 dedekindicc.uss . . . . 5
5 dedekindicc.lm . . . . 5
6 dedekindicc.um . . . . 5
7 dedekindicc.lr . . . . 5
8 dedekindicc.ur . . . . 5
9 dedekindicc.disj . . . . 5
10 dedekindicc.loc . . . . 5
11 dedekindicc.ab . . . . 5
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemicc 12768 . . . 4
13 df-reu 2421 . . . 4
1412, 13sylib 121 . . 3
15 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
1615cbvralv 2652 . . . . . . . . 9
17 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
1817cbvralv 2652 . . . . . . . . 9
1916, 18anbi12i 455 . . . . . . . 8
2019anbi2i 452 . . . . . . 7
21 iccssre 9731 . . . . . . . . . . 11
221, 2, 21syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
2322sselda 3092 . . . . . . . . 9
2423adantrr 470 . . . . . . . 8
255adantr 274 . . . . . . . . 9
261ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
27 simpll 518 . . . . . . . . . . 11
28 simprl 520 . . . . . . . . . . 11
2922sseld 3091 . . . . . . . . . . 11
3027, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . 10
3124adantr 274 . . . . . . . . . 10
321rexrd 7808 . . . . . . . . . . . 12
3332ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
342rexrd 7808 . . . . . . . . . . . 12
3534ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
36 iccgelb 9708 . . . . . . . . . . 11
3733, 35, 28, 36syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10
38 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11
39 simprrl 528 . . . . . . . . . . . 12
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11
41 simprr 521 . . . . . . . . . . 11
4238, 40, 41rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10
4326, 30, 31, 37, 42lelttrd 7880 . . . . . . . . 9
4425, 43rexlimddv 2552 . . . . . . . 8
456adantr 274 . . . . . . . . 9
4624adantr 274 . . . . . . . . . 10
47 simpll 518 . . . . . . . . . . 11
48 simprl 520 . . . . . . . . . . 11
4922sseld 3091 . . . . . . . . . . 11
5047, 48, 49sylc 62 . . . . . . . . . 10
512ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
52 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11
53 simprrr 529 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 274 . . . . . . . . . . 11
55 simprr 521 . . . . . . . . . . 11
5652, 54, 55rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10
5732ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
5834ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
59 iccleub 9707 . . . . . . . . . . 11
6057, 58, 48, 59syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10
6146, 50, 51, 56, 60ltletrd 8178 . . . . . . . . 9
6245, 61rexlimddv 2552 . . . . . . . 8
6332adantr 274 . . . . . . . . 9
6434adantr 274 . . . . . . . . 9
65 elioo2 9697 . . . . . . . . 9
6663, 64, 65syl2anc 408 . . . . . . . 8
6724, 44, 62, 66mpbir3and 1164 . . . . . . 7
6820, 67sylan2b 285 . . . . . 6
69 simprr 521 . . . . . 6
7068, 69jca 304 . . . . 5
71 ioossicc 9735 . . . . . . . 8
7271sseli 3088 . . . . . . 7
7372ad2antrl 481 . . . . . 6
74 simprr 521 . . . . . 6
7573, 74jca 304 . . . . 5
7670, 75impbida 585 . . . 4
7776eubidv 2005 . . 3
7814, 77mpbid 146 . 2
79 df-reu 2421 . 2
8078, 79sylibr 133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  weu 1997  wral 2414  wrex 2415  wreu 2416   cin 3065   wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cr 7612  cxr 7792   clt 7793   cle 7794  cioo 9664  cicc 9667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733  ax-pre-suploc 7734 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-ioo 9668  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764 This theorem is referenced by:  ivthinclemex  12778
 Copyright terms: Public domain W3C validator