Theorem suplociccreex 14944

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8116 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccreex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccreex

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
2		suplocicc.1	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3		suplocicc.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
4		iccssre 10047	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
6	1, 5	sstrd 3194	. 2 |- ( ph -> A C_ RR )
7		suplocicc.m	. 2 |- ( ph -> E. x x e. A )
8		peano2re 8179	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C + 1 ) e. RR )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C + 1 ) e. RR )
10	6	sselda 3184	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
11	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR )
12	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C + 1 ) e. RR )
13	2	rexrd 8093	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> B e. RR* )
15	3	rexrd 8093	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR* )
17	1	sselda 3184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. ( B [,] C ) )
18		iccleub 10023	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y <_ C )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y <_ C )
20	11	ltp1d 8974	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C < ( C + 1 ) )
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 8168	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y < ( C + 1 ) )
22	21	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. y e. A y < ( C + 1 ) )
23		brralrspcev 4092	. . 3 |- ( ( ( C + 1 ) e. RR /\ A. y e. A y < ( C + 1 ) ) -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
24	9, 22, 23	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
25	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> E. x x e. A )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. A )
27		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u e. RR )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u e. RR )
29	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> B e. RR )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ RR )
32	31, 26	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < B )
34	13	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR* )
35	15	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> C e. RR* )
36	1	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
37	36, 26	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. ( B [,] C ) )
38		iccgelb 10024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B <_ x )
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < x )
41		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( u < z <-> u < x ) )
42	41	rspcev 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ u < x ) -> E. z e. A u < z )
43	26, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> E. z e. A u < z )
44	43	orcd 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
45	25, 44	exlimddv 1913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
46		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < v )
47		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < C )
48		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u e. RR )
49		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> v e. RR )
50	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> C e. RR )
51		ltmininf 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
53	46, 47, 52	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < inf ( { v , C } , RR , < ) )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < v )
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B < C )
56	55	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < C )
57	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B e. RR )
58		ltmininf 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
60	54, 56, 59	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < inf ( { v , C } , RR , < ) )
61		mincl 11413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
63		maxltsup 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
65	53, 60, 64	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) )
66		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
67		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( z < y <-> z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
68	67	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
69	68	orbi2d 791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
70	66, 69	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) ) )
71		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < y ) )
72		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < z <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
73	72	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
74	73	orbi1d 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
76	75	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
78	77	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
79		maxcl 11392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
80	48, 57, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
81		maxle2 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
82	48, 57, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
83		maxltsup 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
85	47, 56, 84	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < C )
86	80, 50, 85	ltled 8162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C )
87		elicc2 10030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
88	57, 50, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
90	76, 78, 89	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
91	57, 62, 60	ltled 8162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) )
92		min2inf 11415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
93	49, 50, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
94		elicc2 10030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
95	57, 50, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
97	70, 90, 96	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
99	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u e. RR )
100		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> u e. RR )
101	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> B e. RR )
102	100, 101, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
103	102	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
104	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
106	104, 105	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
107	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> z e. RR )
108	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> B e. RR )
109		maxle1 11393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
110	99, 108, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < z )
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 8168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u < z )
113	112	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> u < z ) )
114	113	reximdva 2599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> E. z e. A u < z ) )
115	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z e. RR )
116	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
117	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> v e. RR )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < inf ( { v , C } , RR , < ) )
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> v e. RR )
120	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> C e. RR )
121		min1inf 11414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
122	119, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
123	122	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < v )
125	124	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> z < v ) )
126	125	ralimdva 2564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> A. z e. A z < v ) )
127	114, 126	orim12d 787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
129		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u < v )
130		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> v e. RR )
131		axltwlin 8111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ B e. RR ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < B \/ B < v ) )
134	45, 128, 133	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
135	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
137	135, 136	sseldd 3185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
138	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR )
139		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> v e. RR )
140	13	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> B e. RR* )
141	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR* )
142	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
143	142, 136	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
144		iccleub 10023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z <_ C )
146		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C < v )
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 8168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z < v )
148	147	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> A. z e. A z < v )
149	148	olcd 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
150		axltwlin 8111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
152	151	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( u < C \/ C < v ) )
153	134, 149, 152	mpjaodan 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
154	153	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
155	154	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
156	155	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
157		breq2 4038	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( u < v <-> u < y ) )
158		breq2 4038	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( z < v <-> z < y ) )
159	158	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( A. z e. A z < v <-> A. z e. A z < y ) )
160	159	orbi2d 791	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) <-> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
161	157, 160	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
162	161	cbvralv 2729	. . . . 5 |- ( A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
163	162	ralbii 2503	. . . 4 |- ( A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
164	156, 163	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
165		breq1 4037	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( u < y <-> x < y ) )
166		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u < z <-> x < z ) )
167	166	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( E. z e. A u < z <-> E. z e. A x < z ) )
168	167	orbi1d 792	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
169	165, 168	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = x -> ( ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
170	169	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( u = x -> ( A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
171	170	cbvralv 2729	. . 3 |- ( A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
172	164, 171	sylib 122	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
173		axsuploc 8116	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1250	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   {cpr 3624   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   supcsup 7057  infcinf 7058   RRcr 7895   1c1 7897   + caddc 7899   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   [,]cicc 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-icc 9987  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  suplociccex  14945