Theorem suplociccreex 12810

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7861 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccreex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccreex

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
2		suplocicc.1	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3		suplocicc.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
4		iccssre 9768	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
6	1, 5	sstrd 3112	. 2 |- ( ph -> A C_ RR )
7		suplocicc.m	. 2 |- ( ph -> E. x x e. A )
8		peano2re 7922	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C + 1 ) e. RR )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C + 1 ) e. RR )
10	6	sselda 3102	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
11	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR )
12	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C + 1 ) e. RR )
13	2	rexrd 7839	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> B e. RR* )
15	3	rexrd 7839	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
16	15	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR* )
17	1	sselda 3102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. ( B [,] C ) )
18		iccleub 9744	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y <_ C )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y <_ C )
20	11	ltp1d 8712	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C < ( C + 1 ) )
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 7911	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y < ( C + 1 ) )
22	21	ralrimiva 2508	. . 3 |- ( ph -> A. y e. A y < ( C + 1 ) )
23		brralrspcev 3994	. . 3 |- ( ( ( C + 1 ) e. RR /\ A. y e. A y < ( C + 1 ) ) -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
24	9, 22, 23	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
25	7	ad5antr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> E. x x e. A )
26		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. A )
27		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u e. RR )
28	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u e. RR )
29	2	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> B e. RR )
30	29	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	6	ad6antr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ RR )
32	31, 26	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
33		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < B )
34	13	ad6antr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR* )
35	15	ad6antr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> C e. RR* )
36	1	ad6antr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
37	36, 26	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. ( B [,] C ) )
38		iccgelb 9745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B <_ x )
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < x )
41		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( u < z <-> u < x ) )
42	41	rspcev 2793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ u < x ) -> E. z e. A u < z )
43	26, 40, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> E. z e. A u < z )
44	43	orcd 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
45	25, 44	exlimddv 1871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
46		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < v )
47		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < C )
48		simp-5r 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u e. RR )
49		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> v e. RR )
50	3	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> C e. RR )
51		ltmininf 11038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
53	46, 47, 52	mpbir2and 929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < inf ( { v , C } , RR , < ) )
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < v )
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B < C )
56	55	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < C )
57	2	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B e. RR )
58		ltmininf 11038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
60	54, 56, 59	mpbir2and 929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < inf ( { v , C } , RR , < ) )
61		mincl 11034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
62	49, 50, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
63		maxltsup 11022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
65	53, 60, 64	mpbir2and 929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) )
66		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
67		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( z < y <-> z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
68	67	ralbidv 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
69	68	orbi2d 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
70	66, 69	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) ) )
71		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < y ) )
72		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < z <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
73	72	rexbidv 2439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
74	73	orbi1d 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
75	71, 74	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
76	75	ralbidv 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
78	77	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
79		maxcl 11014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
80	48, 57, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
81		maxle2 11016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
82	48, 57, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
83		maxltsup 11022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
85	47, 56, 84	mpbir2and 929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < C )
86	80, 50, 85	ltled 7905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C )
87		elicc2 9751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
88	57, 50, 87	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
90	76, 78, 89	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
91	57, 62, 60	ltled 7905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) )
92		min2inf 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
93	49, 50, 92	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
94		elicc2 9751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
95	57, 50, 94	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
97	70, 90, 96	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
99	48	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u e. RR )
100		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> u e. RR )
101	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> B e. RR )
102	100, 101, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
103	102	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
104	6	ad6antr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
105		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
106	104, 105	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
107	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> z e. RR )
108	57	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> B e. RR )
109		maxle1 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
110	99, 108, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
111		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < z )
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 7911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u < z )
113	112	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> u < z ) )
114	113	reximdva 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> E. z e. A u < z ) )
115	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z e. RR )
116	62	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
117	49	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> v e. RR )
118		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < inf ( { v , C } , RR , < ) )
119		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> v e. RR )
120	3	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> C e. RR )
121		min1inf 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
122	119, 120, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
123	122	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < v )
125	124	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> z < v ) )
126	125	ralimdva 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> A. z e. A z < v ) )
127	114, 126	orim12d 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
129		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u < v )
130		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> v e. RR )
131		axltwlin 7856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ B e. RR ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < B \/ B < v ) )
134	45, 128, 133	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
135	6	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
136		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
137	135, 136	sseldd 3103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
138	3	ad5antr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR )
139		simp-4r 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> v e. RR )
140	13	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> B e. RR* )
141	15	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR* )
142	1	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
143	142, 136	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
144		iccleub 9744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z <_ C )
146		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C < v )
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 7911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z < v )
148	147	ralrimiva 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> A. z e. A z < v )
149	148	olcd 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
150		axltwlin 7856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
152	151	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( u < C \/ C < v ) )
153	134, 149, 152	mpjaodan 788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
154	153	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
155	154	ralrimiva 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
156	155	ralrimiva 2508	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
157		breq2 3941	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( u < v <-> u < y ) )
158		breq2 3941	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( z < v <-> z < y ) )
159	158	ralbidv 2438	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( A. z e. A z < v <-> A. z e. A z < y ) )
160	159	orbi2d 780	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) <-> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
161	157, 160	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
162	161	cbvralv 2657	. . . . 5 |- ( A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
163	162	ralbii 2444	. . . 4 |- ( A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
164	156, 163	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
165		breq1 3940	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( u < y <-> x < y ) )
166		breq1 3940	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u < z <-> x < z ) )
167	166	rexbidv 2439	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( E. z e. A u < z <-> E. z e. A x < z ) )
168	167	orbi1d 781	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
169	165, 168	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( u = x -> ( ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
170	169	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( u = x -> ( A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
171	170	cbvralv 2657	. . 3 |- ( A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
172	164, 171	sylib 121	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
173		axsuploc 7861	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1218	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   {cpr 3533   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   supcsup 6877  infcinf 6878   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   [,]cicc 9704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-icc 9708  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803

This theorem is referenced by:  suplociccex  12811