suplociccreex - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem suplociccreex 12771

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7837 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
suplocicc.1
suplocicc.2
suplocicc.bc
suplocicc.3
suplocicc.m
suplocicc.l	$\/$

**Assertion**
Ref	Expression
suplociccreex	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem suplociccreex Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3
2		suplocicc.1	. . . 4
3		suplocicc.2	. . . 4
4		iccssre 9738	. . . 4 $/\$
5	2, 3, 4	syl2anc 408	. . 3
6	1, 5	sstrd 3107	. 2
7		suplocicc.m	. 2
8		peano2re 7898	. . . 4
9	3, 8	syl 14	. . 3
10	6	sselda 3097	. . . . 5 $/\$
11	3	adantr 274	. . . . 5 $/\$
12	9	adantr 274	. . . . 5 $/\$
13	2	rexrd 7815	. . . . . . 7
14	13	adantr 274	. . . . . 6 $/\$
15	3	rexrd 7815	. . . . . . 7
16	15	adantr 274	. . . . . 6 $/\$
17	1	sselda 3097	. . . . . 6 $/\$
18		iccleub 9714	. . . . . 6 $/\$ $/\$
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1216	. . . . 5 $/\$
20	11	ltp1d 8688	. . . . 5 $/\$
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 7887	. . . 4 $/\$
22	21	ralrimiva 2505	. . 3
23		brralrspcev 3986	. . 3 $/\$
24	9, 22, 23	syl2anc 408	. 2
25	7	ad5antr 487	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simp-4r 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	2	ad4antr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	6	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 26	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		simplr 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	13	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	15	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	1	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36, 26	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		iccgelb 9715	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	rspcev 2789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	26, 40, 42	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	43	orcd 722	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
45	25, 44	exlimddv 1870	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
46		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		simplr 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		simp-5r 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simp-4r 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	3	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ltmininf 11006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ inf $/\$
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf $/\$
53	46, 47, 52	mpbir2and 928	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		ltmininf 11006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ inf $/\$
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf $/\$
60	54, 56, 59	mpbir2and 928	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
61		mincl 11002	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inf
62	49, 50, 61	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
63		maxltsup 10990	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ inf inf inf $/\$ inf
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf inf $/\$ inf
65	53, 60, 64	mpbir2and 928	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
66		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . 13 inf inf
67		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 inf inf
68	67	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . 14 inf inf
69	68	orbi2d 779	. . . . . . . . . . . . 13 inf $\/$ $\/$ inf
70	66, 69	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 inf $\/$ inf $\/$ inf
71		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72	rexbidv 2438	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	73	orbi1d 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
75	71, 74	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
76	75	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
78	77	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
79		maxcl 10982	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	48, 57, 79	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		maxle2 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
82	48, 57, 81	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		maxltsup 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	47, 56, 84	mpbir2and 928	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	80, 50, 85	ltled 7881	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		elicc2 9721	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
88	57, 50, 87	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1164	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	76, 78, 89	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
91	57, 62, 60	ltled 7881	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
92		min2inf 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inf
93	49, 50, 92	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
94		elicc2 9721	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inf inf $/\$ inf $/\$ inf
95	57, 50, 94	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf inf $/\$ inf $/\$ inf
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1164	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
97	70, 90, 96	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf $\/$ inf
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ inf
99	48	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
101	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
102	100, 101, 79	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
103	102	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	6	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	57	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		maxle1 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	99, 108, 109	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 7887	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	reximdva 2534	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
116	62	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf inf
117	49	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
118		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf inf
119		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
120	3	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
121		min1inf 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ inf
122	119, 120, 121	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ inf
123	122	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf inf
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
125	124	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
126	125	ralimdva 2499	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
127	114, 126	orim12d 775	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ inf $\/$
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
129		simplr 519	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		simpllr 523	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		axltwlin 7832	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
134	45, 128, 133	mpjaodan 787	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
135	6	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	135, 136	sseldd 3098	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	3	ad5antr 487	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		simp-4r 531	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	13	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	15	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	1	ad5antr 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142, 136	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144		iccleub 9714	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simplr 519	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 7887	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	ralrimiva 2505	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	olcd 723	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
150		axltwlin 7832	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
152	151	imp 123	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
153	134, 149, 152	mpjaodan 787	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
154	153	ex 114	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$
155	154	ralrimiva 2505	. . . . 5 $/\$ $\/$
156	155	ralrimiva 2505	. . . 4 $\/$
157		breq2 3933	. . . . . . 7
158		breq2 3933	. . . . . . . . 9
159	158	ralbidv 2437	. . . . . . . 8
160	159	orbi2d 779	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
161	157, 160	imbi12d 233	. . . . . 6 $\/$ $\/$
162	161	cbvralv 2654	. . . . 5 $\/$ $\/$
163	162	ralbii 2441	. . . 4 $\/$ $\/$
164	156, 163	sylib 121	. . 3 $\/$
165		breq1 3932	. . . . . 6
166		breq1 3932	. . . . . . . 8
167	166	rexbidv 2438	. . . . . . 7
168	167	orbi1d 780	. . . . . 6 $\/$ $\/$
169	165, 168	imbi12d 233	. . . . 5 $\/$ $\/$
170	169	ralbidv 2437	. . . 4 $\/$ $\/$
171	170	cbvralv 2654	. . 3 $\/$ $\/$
172	164, 171	sylib 121	. 2 $\/$
173		axsuploc 7837	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1217	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 697 $/\$ w3a 962

wceq 1331

wex 1468

wcel 1480

wral 2416

wrex 2417

wss 3071

cpr 3528 class class class wbr 3929 (class class class)co 5774

csup 6869 infcinf 6870

cr 7619

c1 7621

caddc 7623

cxr 7799

clt 7800

cle 7801

cicc 9674

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740 ax-pre-suploc 7741

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-isom 5132 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-sup 6871 df-inf 6872 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-rp 9442 df-icc 9678 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771

This theorem is referenced by: suplociccex 12772

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