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Theorem suplociccreex 12780
 Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7844 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocicc.1
suplocicc.2
suplocicc.bc
suplocicc.3
suplocicc.m
suplocicc.l
Assertion
Ref Expression
suplociccreex
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem suplociccreex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocicc.3 . . 3
2 suplocicc.1 . . . 4
3 suplocicc.2 . . . 4
4 iccssre 9745 . . . 4
52, 3, 4syl2anc 408 . . 3
61, 5sstrd 3107 . 2
7 suplocicc.m . 2
8 peano2re 7905 . . . 4
93, 8syl 14 . . 3
106sselda 3097 . . . . 5
113adantr 274 . . . . 5
129adantr 274 . . . . 5
132rexrd 7822 . . . . . . 7
1413adantr 274 . . . . . 6
153rexrd 7822 . . . . . . 7
1615adantr 274 . . . . . 6
171sselda 3097 . . . . . 6
18 iccleub 9721 . . . . . 6
1914, 16, 17, 18syl3anc 1216 . . . . 5
2011ltp1d 8695 . . . . 5
2110, 11, 12, 19, 20lelttrd 7894 . . . 4
2221ralrimiva 2505 . . 3
23 brralrspcev 3986 . . 3
249, 22, 23syl2anc 408 . 2
257ad5antr 487 . . . . . . . . . 10
26 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
27 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . . 14
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13
292ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13
316ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . . 14
3231, 26sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . 13
33 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13
3413ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . . 14
3515ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . . 14
361ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736, 26sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . . 14
38 iccgelb 9722 . . . . . . . . . . . . . 14
3934, 35, 37, 38syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13
4028, 30, 32, 33, 39ltletrd 8192 . . . . . . . . . . . 12
41 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13
4241rspcev 2789 . . . . . . . . . . . 12
4326, 40, 42syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11
4443orcd 722 . . . . . . . . . 10
4525, 44exlimddv 1870 . . . . . . . . 9
46 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . 13
47 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13
48 simp-5r 533 . . . . . . . . . . . . . 14
49 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . . 14
503ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . . 14
51 ltmininf 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
5248, 49, 50, 51syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13 inf
5346, 47, 52mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . 12 inf
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13
55 suplocicc.bc . . . . . . . . . . . . . 14
5655ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . 13
572ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . . 14
58 ltmininf 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
5957, 49, 50, 58syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13 inf
6054, 56, 59mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . 12 inf
61 mincl 11009 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
6249, 50, 61syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 inf
63 maxltsup 10997 . . . . . . . . . . . . 13 inf inf inf inf
6448, 57, 62, 63syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . 12 inf inf inf
6553, 60, 64mpbir2and 928 . . . . . . . . . . 11 inf
66 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13 inf inf
67 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . . 15 inf inf
6867ralbidv 2437 . . . . . . . . . . . . . 14 inf inf
6968orbi2d 779 . . . . . . . . . . . . 13 inf inf
7066, 69imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 inf inf inf
71 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473orbi1d 780 . . . . . . . . . . . . . . 15
7571, 74imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ralbidv 2437 . . . . . . . . . . . . 13
77 suplocicc.l . . . . . . . . . . . . . 14
7877ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . 13
79 maxcl 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15
8048, 57, 79syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14
81 maxle2 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15
8248, 57, 81syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14
83 maxltsup 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8448, 57, 50, 83syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8547, 56, 84mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . . . 15
8680, 50, 85ltled 7888 . . . . . . . . . . . . . 14
87 elicc2 9728 . . . . . . . . . . . . . . 15
8857, 50, 87syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14
8980, 82, 86, 88mpbir3and 1164 . . . . . . . . . . . . 13
9076, 78, 89rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . 12
9157, 62, 60ltled 7888 . . . . . . . . . . . . 13 inf
92 min2inf 11011 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
9349, 50, 92syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 inf
94 elicc2 9728 . . . . . . . . . . . . . 14 inf inf inf inf
9557, 50, 94syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 inf inf inf inf
9662, 91, 93, 95mpbir3and 1164 . . . . . . . . . . . 12 inf
9770, 90, 96rspcdva 2794 . . . . . . . . . . 11 inf inf
9865, 97mpd 13 . . . . . . . . . 10 inf
9948ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1012ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102100, 101, 79syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . . 14
1046ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106104, 105sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14
10857ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 maxle1 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15
11099, 108, 109syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14
111 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
11299, 103, 107, 110, 111lelttrd 7894 . . . . . . . . . . . . 13
113112ex 114 . . . . . . . . . . . 12
114113reximdva 2534 . . . . . . . . . . 11
115106adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
11662ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 inf inf
11749ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 inf
118 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 inf inf
119 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1203ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 min1inf 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 inf
122119, 120, 121syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 inf
123122ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 inf inf
124115, 116, 117, 118, 123ltletrd 8192 . . . . . . . . . . . . 13 inf
125124ex 114 . . . . . . . . . . . 12 inf
126125ralimdva 2499 . . . . . . . . . . 11 inf
127114, 126orim12d 775 . . . . . . . . . 10 inf
12898, 127mpd 13 . . . . . . . . 9
129 simplr 519 . . . . . . . . . 10
130 simpllr 523 . . . . . . . . . . 11
131 axltwlin 7839 . . . . . . . . . . 11
13227, 130, 29, 131syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10
133129, 132mpd 13 . . . . . . . . 9
13445, 128, 133mpjaodan 787 . . . . . . . 8
1356ad5antr 487 . . . . . . . . . . . 12
136 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
137135, 136sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11
1383ad5antr 487 . . . . . . . . . . 11
139 simp-4r 531 . . . . . . . . . . 11
14013ad5antr 487 . . . . . . . . . . . 12
14115ad5antr 487 . . . . . . . . . . . 12
1421ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . 13
143142, 136sseldd 3098 . . . . . . . . . . . 12
144 iccleub 9721 . . . . . . . . . . . 12
145140, 141, 143, 144syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11
146 simplr 519 . . . . . . . . . . 11
147137, 138, 139, 145, 146lelttrd 7894 . . . . . . . . . 10
148147ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9
149148olcd 723 . . . . . . . 8
150 axltwlin 7839 . . . . . . . . . 10
151100, 119, 120, 150syl3anc 1216 . . . . . . . . 9
152151imp 123 . . . . . . . 8
153134, 149, 152mpjaodan 787 . . . . . . 7
154153ex 114 . . . . . 6
155154ralrimiva 2505 . . . . 5
156155ralrimiva 2505 . . . 4
157 breq2 3933 . . . . . . 7
158 breq2 3933 . . . . . . . . 9
159158ralbidv 2437 . . . . . . . 8
160159orbi2d 779 . . . . . . 7
161157, 160imbi12d 233 . . . . . 6
162161cbvralv 2654 . . . . 5
163162ralbii 2441 . . . 4
164156, 163sylib 121 . . 3
165 breq1 3932 . . . . . 6
166 breq1 3932 . . . . . . . 8
167166rexbidv 2438 . . . . . . 7
168167orbi1d 780 . . . . . 6
169165, 168imbi12d 233 . . . . 5
170169ralbidv 2437 . . . 4
171170cbvralv 2654 . . 3
172164, 171sylib 121 . 2
173 axsuploc 7844 . 2
1746, 7, 24, 172, 173syl22anc 1217 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   w3a 962   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   wss 3071  cpr 3528   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  csup 6869  infcinf 6870  cr 7626  c1 7628   caddc 7630  cxr 7806   clt 7807   cle 7808  cicc 9681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-icc 9685  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778 This theorem is referenced by:  suplociccex  12781
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