Theorem suplociccreex 15211

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8180 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccreex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccreex

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
2		suplocicc.1	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3		suplocicc.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
4		iccssre 10112	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
6	1, 5	sstrd 3211	. 2 |- ( ph -> A C_ RR )
7		suplocicc.m	. 2 |- ( ph -> E. x x e. A )
8		peano2re 8243	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C + 1 ) e. RR )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C + 1 ) e. RR )
10	6	sselda 3201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
11	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR )
12	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C + 1 ) e. RR )
13	2	rexrd 8157	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> B e. RR* )
15	3	rexrd 8157	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR* )
17	1	sselda 3201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. ( B [,] C ) )
18		iccleub 10088	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y <_ C )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y <_ C )
20	11	ltp1d 9038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C < ( C + 1 ) )
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 8232	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y < ( C + 1 ) )
22	21	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ph -> A. y e. A y < ( C + 1 ) )
23		brralrspcev 4118	. . 3 |- ( ( ( C + 1 ) e. RR /\ A. y e. A y < ( C + 1 ) ) -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
24	9, 22, 23	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
25	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> E. x x e. A )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. A )
27		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u e. RR )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u e. RR )
29	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> B e. RR )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ RR )
32	31, 26	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < B )
34	13	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR* )
35	15	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> C e. RR* )
36	1	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
37	36, 26	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. ( B [,] C ) )
38		iccgelb 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B <_ x )
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < x )
41		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( u < z <-> u < x ) )
42	41	rspcev 2884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ u < x ) -> E. z e. A u < z )
43	26, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> E. z e. A u < z )
44	43	orcd 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
45	25, 44	exlimddv 1923	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
46		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < v )
47		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < C )
48		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u e. RR )
49		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> v e. RR )
50	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> C e. RR )
51		ltmininf 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
53	46, 47, 52	mpbir2and 947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < inf ( { v , C } , RR , < ) )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < v )
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B < C )
56	55	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < C )
57	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B e. RR )
58		ltmininf 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
60	54, 56, 59	mpbir2and 947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < inf ( { v , C } , RR , < ) )
61		mincl 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
63		maxltsup 11644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
65	53, 60, 64	mpbir2and 947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) )
66		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
67		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( z < y <-> z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
68	67	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
69	68	orbi2d 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
70	66, 69	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) ) )
71		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < y ) )
72		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < z <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
73	72	rexbidv 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
74	73	orbi1d 793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
76	75	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
78	77	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
79		maxcl 11636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
80	48, 57, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
81		maxle2 11638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
82	48, 57, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
83		maxltsup 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
85	47, 56, 84	mpbir2and 947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < C )
86	80, 50, 85	ltled 8226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C )
87		elicc2 10095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
88	57, 50, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
90	76, 78, 89	rspcdva 2889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
91	57, 62, 60	ltled 8226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) )
92		min2inf 11659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
93	49, 50, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
94		elicc2 10095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
95	57, 50, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
97	70, 90, 96	rspcdva 2889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
99	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u e. RR )
100		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> u e. RR )
101	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> B e. RR )
102	100, 101, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
103	102	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
104	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
106	104, 105	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
107	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> z e. RR )
108	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> B e. RR )
109		maxle1 11637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
110	99, 108, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < z )
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 8232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u < z )
113	112	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> u < z ) )
114	113	reximdva 2610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> E. z e. A u < z ) )
115	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z e. RR )
116	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
117	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> v e. RR )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < inf ( { v , C } , RR , < ) )
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> v e. RR )
120	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> C e. RR )
121		min1inf 11658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
122	119, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
123	122	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < v )
125	124	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> z < v ) )
126	125	ralimdva 2575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> A. z e. A z < v ) )
127	114, 126	orim12d 788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
129		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u < v )
130		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> v e. RR )
131		axltwlin 8175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ B e. RR ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < B \/ B < v ) )
134	45, 128, 133	mpjaodan 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
135	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
137	135, 136	sseldd 3202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
138	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR )
139		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> v e. RR )
140	13	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> B e. RR* )
141	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR* )
142	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
143	142, 136	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
144		iccleub 10088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z <_ C )
146		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C < v )
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 8232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z < v )
148	147	ralrimiva 2581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> A. z e. A z < v )
149	148	olcd 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
150		axltwlin 8175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
152	151	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( u < C \/ C < v ) )
153	134, 149, 152	mpjaodan 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
154	153	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
155	154	ralrimiva 2581	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
156	155	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
157		breq2 4063	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( u < v <-> u < y ) )
158		breq2 4063	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( z < v <-> z < y ) )
159	158	ralbidv 2508	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( A. z e. A z < v <-> A. z e. A z < y ) )
160	159	orbi2d 792	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) <-> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
161	157, 160	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
162	161	cbvralv 2742	. . . . 5 |- ( A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
163	162	ralbii 2514	. . . 4 |- ( A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
164	156, 163	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
165		breq1 4062	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( u < y <-> x < y ) )
166		breq1 4062	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u < z <-> x < z ) )
167	166	rexbidv 2509	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( E. z e. A u < z <-> E. z e. A x < z ) )
168	167	orbi1d 793	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
169	165, 168	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = x -> ( ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
170	169	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( u = x -> ( A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
171	170	cbvralv 2742	. . 3 |- ( A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
172	164, 171	sylib 122	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
173		axsuploc 8180	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1251	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   {cpr 3644   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   supcsup 7110  infcinf 7111   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   [,]cicc 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-icc 10052  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  suplociccex  15212