Theorem suplociccreex 13396

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7992 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccreex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccreex

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
2		suplocicc.1	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3		suplocicc.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
4		iccssre 9912	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
6	1, 5	sstrd 3157	. 2 |- ( ph -> A C_ RR )
7		suplocicc.m	. 2 |- ( ph -> E. x x e. A )
8		peano2re 8055	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C + 1 ) e. RR )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C + 1 ) e. RR )
10	6	sselda 3147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
11	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR )
12	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C + 1 ) e. RR )
13	2	rexrd 7969	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> B e. RR* )
15	3	rexrd 7969	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
16	15	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. RR* )
17	1	sselda 3147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. ( B [,] C ) )
18		iccleub 9888	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y <_ C )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y <_ C )
20	11	ltp1d 8846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C < ( C + 1 ) )
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 8044	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y < ( C + 1 ) )
22	21	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. y e. A y < ( C + 1 ) )
23		brralrspcev 4047	. . 3 |- ( ( ( C + 1 ) e. RR /\ A. y e. A y < ( C + 1 ) ) -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
24	9, 22, 23	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y < x )
25	7	ad5antr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> E. x x e. A )
26		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. A )
27		simp-4r 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u e. RR )
28	27	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u e. RR )
29	2	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> B e. RR )
30	29	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	6	ad6antr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ RR )
32	31, 26	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
33		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < B )
34	13	ad6antr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B e. RR* )
35	15	ad6antr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> C e. RR* )
36	1	ad6antr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
37	36, 26	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> x e. ( B [,] C ) )
38		iccgelb 9889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> B <_ x )
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> u < x )
41		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( u < z <-> u < x ) )
42	41	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ u < x ) -> E. z e. A u < z )
43	26, 40, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> E. z e. A u < z )
44	43	orcd 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
45	25, 44	exlimddv 1891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ u < B ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
46		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < v )
47		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < C )
48		simp-5r 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u e. RR )
49		simp-4r 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> v e. RR )
50	3	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> C e. RR )
51		ltmininf 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < v /\ u < C ) ) )
53	46, 47, 52	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> u < inf ( { v , C } , RR , < ) )
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < v )
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B < C )
56	55	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < C )
57	2	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B e. RR )
58		ltmininf 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( B < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( B < v /\ B < C ) ) )
60	54, 56, 59	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B < inf ( { v , C } , RR , < ) )
61		mincl 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
62	49, 50, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
63		maxltsup 11182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) <-> ( u < inf ( { v , C } , RR , < ) /\ B < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
65	53, 60, 64	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) )
66		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
67		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( z < y <-> z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
68	67	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
69	68	orbi2d 785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
70	66, 69	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) ) )
71		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < y <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < y ) )
72		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( x < z <-> sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
73	72	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) )
74	73	orbi1d 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
75	71, 74	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
76	75	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = sup ( { u , B } , RR , < ) -> ( A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
78	77	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
79		maxcl 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
80	48, 57, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
81		maxle2 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
82	48, 57, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
83		maxltsup 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < C <-> ( u < C /\ B < C ) ) )
85	47, 56, 84	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < C )
86	80, 50, 85	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C )
87		elicc2 9895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
88	57, 50, 87	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> ( sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { u , B } , RR , < ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) <_ C ) ) )
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
90	76, 78, 89	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( sup ( { u , B } , RR , < ) < y -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
91	57, 62, 60	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) )
92		min2inf 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
93	49, 50, 92	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C )
94		elicc2 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
95	57, 50, 94	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) <-> (inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR /\ B <_ inf ( { v , C } , RR , < ) /\ inf ( { v , C } , RR , < ) <_ C ) ) )
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. ( B [,] C ) )
97	70, 90, 96	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < inf ( { v , C } , RR , < ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) ) )
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) )
99	48	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u e. RR )
100		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> u e. RR )
101	2	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> B e. RR )
102	100, 101, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
103	102	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) e. RR )
104	6	ad6antr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
105		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
106	104, 105	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
107	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> z e. RR )
108	57	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> B e. RR )
109		maxle1 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. RR /\ B e. RR ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
110	99, 108, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u <_ sup ( { u , B } , RR , < ) )
111		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> sup ( { u , B } , RR , < ) < z )
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 8044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ sup ( { u , B } , RR , < ) < z ) -> u < z )
113	112	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> u < z ) )
114	113	reximdva 2572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z -> E. z e. A u < z ) )
115	106	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z e. RR )
116	62	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) e. RR )
117	49	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> v e. RR )
118		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < inf ( { v , C } , RR , < ) )
119		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> v e. RR )
120	3	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> C e. RR )
121		min1inf 11195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
122	119, 120, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
123	122	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> inf ( { v , C } , RR , < ) <_ v )
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) /\ z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> z < v )
125	124	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) /\ z e. A ) -> ( z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> z < v ) )
126	125	ralimdva 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) -> A. z e. A z < v ) )
127	114, 126	orim12d 781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( ( E. z e. A sup ( { u , B } , RR , < ) < z \/ A. z e. A z < inf ( { v , C } , RR , < ) ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) /\ B < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
129		simplr 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> u < v )
130		simpllr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> v e. RR )
131		axltwlin 7987	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ B e. RR ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < v -> ( u < B \/ B < v ) ) )
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( u < B \/ B < v ) )
134	45, 128, 133	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ u < C ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
135	6	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ RR )
136		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. A )
137	135, 136	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
138	3	ad5antr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR )
139		simp-4r 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> v e. RR )
140	13	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> B e. RR* )
141	15	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C e. RR* )
142	1	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
143	142, 136	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
144		iccleub 9888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z <_ C )
146		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> C < v )
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 8044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) /\ z e. A ) -> z < v )
148	147	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> A. z e. A z < v )
149	148	olcd 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) /\ C < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
150		axltwlin 7987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ C e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( u < C \/ C < v ) ) )
152	151	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( u < C \/ C < v ) )
153	134, 149, 152	mpjaodan 793	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) /\ u < v ) -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) )
154	153	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
155	154	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
156	155	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) )
157		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( u < v <-> u < y ) )
158		breq2 3993	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( z < v <-> z < y ) )
159	158	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( A. z e. A z < v <-> A. z e. A z < y ) )
160	159	orbi2d 785	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) <-> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
161	157, 160	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
162	161	cbvralv 2696	. . . . 5 |- ( A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
163	162	ralbii 2476	. . . 4 |- ( A. u e. RR A. v e. RR ( u < v -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < v ) ) <-> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
164	156, 163	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
165		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( u < y <-> x < y ) )
166		breq1 3992	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u < z <-> x < z ) )
167	166	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( E. z e. A u < z <-> E. z e. A x < z ) )
168	167	orbi1d 786	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
169	165, 168	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( u = x -> ( ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
170	169	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( u = x -> ( A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) )
171	170	cbvralv 2696	. . 3 |- ( A. u e. RR A. y e. RR ( u < y -> ( E. z e. A u < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
172	164, 171	sylib 121	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
173		axsuploc 7992	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1234	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   {cpr 3584   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   supcsup 6959  infcinf 6960   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  suplociccex  13397