ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icossico GIF version

Theorem icossico 9738
Description: Condition for a closed-below, open-above interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
icossico (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem icossico
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 9689 . 2 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 xrletr 9603 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝑤) → 𝐴𝑤))
3 xrltletr 9602 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷𝐷𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
41, 1, 2, 3ixxss12 9701 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480  wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  *cxr 7811   < clt 7812  cle 7813  [,)cico 9685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-ico 9689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator