Theorem hmeocnvb 13689

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnvb	|- ( Rel F -> ( `' F e. ( J Homeo K ) <-> F e. ( K Homeo J ) ) )

Proof of Theorem hmeocnvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnv 13678	. . 3 |- ( `' F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F e. ( K Homeo J ) )
2		dfrel2 5078	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3		eleq1 2240	. . . 4 |- ( `' `' F = F -> ( `' `' F e. ( K Homeo J ) <-> F e. ( K Homeo J ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( Rel F -> ( `' `' F e. ( K Homeo J ) <-> F e. ( K Homeo J ) ) )
5	1, 4	imbitrid 154	. 2 |- ( Rel F -> ( `' F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( K Homeo J ) ) )
6		hmeocnv 13678	. 2 |- ( F e. ( K Homeo J ) -> `' F e. ( J Homeo K ) )
7	5, 6	impbid1 142	1 |- ( Rel F -> ( `' F e. ( J Homeo K ) <-> F e. ( K Homeo J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   `'ccnv 4624   Rel wrel 4630  (class class class)co 5872   Homeochmeo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6647  df-top 13367  df-topon 13380  df-cn 13559  df-hmeo 13672

This theorem is referenced by: (None)