Theorem hmeoco 14301

Description: The composite of two homeomorphisms is a homeomorphism. (Contributed by FL, 9-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoco	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) )

Proof of Theorem hmeoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14290	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		hmeocn 14290	. . 3 |- ( G e. ( K Homeo L ) -> G e. ( K Cn L ) )
3		cnco 14206	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )
5		cnvco 4833	. . 3 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
6		hmeocnvcn 14291	. . . 4 |- ( G e. ( K Homeo L ) -> `' G e. ( L Cn K ) )
7		hmeocnvcn 14291	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
8		cnco 14206	. . . 4 |- ( ( `' G e. ( L Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> ( `' F o. `' G ) e. ( L Cn J ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( `' F o. `' G ) e. ( L Cn J ) )
10	5, 9	eqeltrid 2276	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> `' ( G o. F ) e. ( L Cn J ) )
11		ishmeo 14289	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) <-> ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) /\ `' ( G o. F ) e. ( L Cn J ) ) )
12	4, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   `'ccnv 4646   o. ccom 4651  (class class class)co 5900   Cn ccn 14170   Homeochmeo 14285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-top 13983  df-topon 13996  df-cn 14173  df-hmeo 14286

This theorem is referenced by: (None)