Theorem hmeoco 13031

Description: The composite of two homeomorphisms is a homeomorphism. (Contributed by FL, 9-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoco	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) )

Proof of Theorem hmeoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 13020	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		hmeocn 13020	. . 3 |- ( G e. ( K Homeo L ) -> G e. ( K Cn L ) )
3		cnco 12936	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )
5		cnvco 4794	. . 3 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
6		hmeocnvcn 13021	. . . 4 |- ( G e. ( K Homeo L ) -> `' G e. ( L Cn K ) )
7		hmeocnvcn 13021	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
8		cnco 12936	. . . 4 |- ( ( `' G e. ( L Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> ( `' F o. `' G ) e. ( L Cn J ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( `' F o. `' G ) e. ( L Cn J ) )
10	5, 9	eqeltrid 2257	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> `' ( G o. F ) e. ( L Cn J ) )
11		ishmeo 13019	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) <-> ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) /\ `' ( G o. F ) e. ( L Cn J ) ) )
12	4, 10, 11	sylanbrc 415	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ G e. ( K Homeo L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Homeo L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   `'ccnv 4608   o. ccom 4613  (class class class)co 5850   Cn ccn 12900   Homeochmeo 13015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-map 6624  df-top 12711  df-topon 12724  df-cn 12903  df-hmeo 13016

This theorem is referenced by: (None)