Theorem ishmeo 12954

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology J and topology K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	|- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variables f j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hmeo 12951	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
2	1	elmpocl 6036	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		df-cn 12838	. . . 4 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
4	3	elmpocl 6036	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
6		hmeofvalg 12953	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Homeo K ) = { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } )
7	6	eleq2d 2236	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } ) )
8		cnveq 4778	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
9	8	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f e. ( K Cn J ) <-> `' F e. ( K Cn J ) ) )
10	9	elrab 2882	. . 3 |- ( F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
11	7, 10	bitrdi 195	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 694	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   U.cuni 3789   `'ccnv 4603   "cima 4607  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614   Topctop 12645   Cn ccn 12835   Homeochmeo 12950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12646  df-topon 12659  df-cn 12838  df-hmeo 12951

This theorem is referenced by:  hmeocn  12955  hmeocnvcn  12956  hmeocnv  12957  hmeores  12965  hmeoco  12966  idhmeo  12967  txhmeo  12969  txswaphmeo  12971  cnrehmeocntop  13243