Theorem ishmeo 14540

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology J and topology K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	|- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variables f j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hmeo 14537	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
2	1	elmpocl 6118	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		df-cn 14424	. . . 4 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
4	3	elmpocl 6118	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
6		hmeofvalg 14539	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Homeo K ) = { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } )
7	6	eleq2d 2266	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } ) )
8		cnveq 4840	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
9	8	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f e. ( K Cn J ) <-> `' F e. ( K Cn J ) ) )
10	9	elrab 2920	. . 3 |- ( F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
11	7, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 705	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   U.cuni 3839   `'ccnv 4662   "cima 4666  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707   Topctop 14233   Cn ccn 14421   Homeochmeo 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-top 14234  df-topon 14247  df-cn 14424  df-hmeo 14537

This theorem is referenced by:  hmeocn  14541  hmeocnvcn  14542  hmeocnv  14543  hmeores  14551  hmeoco  14552  idhmeo  14553  txhmeo  14555  txswaphmeo  14557  cnrehmeocntop  14846