Theorem ishmeo 12746

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology J and topology K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	|- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variables f j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hmeo 12743	. . 3 |- Homeo = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( j Cn k ) | `' f e. ( k Cn j ) } )
2	1	elmpocl 6019	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		df-cn 12630	. . . 4 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
4	3	elmpocl 6019	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
6		hmeofvalg 12745	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Homeo K ) = { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } )
7	6	eleq2d 2227	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } ) )
8		cnveq 4761	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
9	8	eleq1d 2226	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f e. ( K Cn J ) <-> `' F e. ( K Cn J ) ) )
10	9	elrab 2868	. . 3 |- ( F e. { f e. ( J Cn K ) | `' f e. ( K Cn J ) } <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
11	7, 10	bitrdi 195	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 694	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   U.cuni 3773   `'ccnv 4586   "cima 4590  (class class class)co 5825   ^m cmap 6594   Topctop 12437   Cn ccn 12627   Homeochmeo 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-map 6596  df-top 12438  df-topon 12451  df-cn 12630  df-hmeo 12743

This theorem is referenced by:  hmeocn  12747  hmeocnvcn  12748  hmeocnv  12749  hmeores  12757  hmeoco  12758  idhmeo  12759  txhmeo  12761  txswaphmeo  12763  cnrehmeocntop  13035