Theorem idcn 15208

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idcn	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3262	. 2 |- J C_ J
2		ssidcn 15206	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) <-> J C_ J ) )
3	2	anidms 397	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) <-> J C_ J ) )
4	1, 3	mpbiri 168	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   C_ wss 3214   _I cid 4415   |` cres 4757   ` cfv 5358  (class class class)co 6059  TopOnctopon 15006   Cn ccn 15181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-map 6898  df-top 14994  df-topon 15007  df-cn 15184

This theorem is referenced by:  cnmptid  15277  idhmeo  15313