Theorem inffinp1 13180

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
inffinp1.inf	|- ( ph -> om ~<_ A )
inffinp1.ss	|- ( ph -> B C_ A )
inffinp1.b	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	|- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		inffinp1.inf	. . . 4 |- ( ph -> om ~<_ A )
3		inffinp1.ss	. . . 4 |- ( ph -> B C_ A )
4		inffinp1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
5		difinfinf 7392	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	. . 3 |- ( ph -> om ~<_ ( A \ B ) )
7		infm 7164	. . 3 |- ( om ~<_ ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. ( A \ B ) )
9		eldif 3220	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
10	9	exbii 1654	. . 3 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
11		df-rex 2526	. . 3 |- ( E. x e. A -. x e. B <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x e. A -. x e. B )
13	8, 12	sylib 122	1 |- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   \ cdif 3208   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   omcom 4712   ~<_ cdom 6974   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375

This theorem is referenced by:  ctinf  13181