Theorem inffinp1 13320

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
inffinp1.inf	|- ( ph -> om ~<_ A )
inffinp1.ss	|- ( ph -> B C_ A )
inffinp1.b	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	|- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		inffinp1.inf	. . . 4 |- ( ph -> om ~<_ A )
3		inffinp1.ss	. . . 4 |- ( ph -> B C_ A )
4		inffinp1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
5		difinfinf 7441	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> om ~<_ ( A \ B ) )
7		infm 7211	. . 3 |- ( om ~<_ ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. ( A \ B ) )
9		eldif 3229	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
10	9	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
11		df-rex 2534	. . 3 |- ( E. x e. A -. x e. B <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x e. A -. x e. B )
13	8, 12	sylib 122	1 |- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   \ cdif 3217   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   omcom 4737   ~<_ cdom 7021   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424

This theorem is used by:  ctinf  13321