Theorem inffinp1 12443

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
inffinp1.inf	|- ( ph -> om ~<_ A )
inffinp1.ss	|- ( ph -> B C_ A )
inffinp1.b	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	|- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		inffinp1.inf	. . . 4 |- ( ph -> om ~<_ A )
3		inffinp1.ss	. . . 4 |- ( ph -> B C_ A )
4		inffinp1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
5		difinfinf 7113	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1249	. . 3 |- ( ph -> om ~<_ ( A \ B ) )
7		infm 6917	. . 3 |- ( om ~<_ ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. ( A \ B ) )
9		eldif 3150	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
10	9	exbii 1615	. . 3 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
11		df-rex 2471	. . 3 |- ( E. x e. A -. x e. B <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x e. A -. x e. B )
13	8, 12	sylib 122	1 |- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   \ cdif 3138   C_ wss 3141   class class class wbr 4015   omcom 4601   ~<_ cdom 6752   Fincfn 6753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-dju 7050  df-inl 7059  df-inr 7060  df-case 7096

This theorem is referenced by:  ctinf  12444