Theorem inffinp1 13000

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
inffinp1.inf	|- ( ph -> om ~<_ A )
inffinp1.ss	|- ( ph -> B C_ A )
inffinp1.b	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	|- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		inffinp1.inf	. . . 4 |- ( ph -> om ~<_ A )
3		inffinp1.ss	. . . 4 |- ( ph -> B C_ A )
4		inffinp1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
5		difinfinf 7268	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1272	. . 3 |- ( ph -> om ~<_ ( A \ B ) )
7		infm 7066	. . 3 |- ( om ~<_ ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. ( A \ B ) )
9		eldif 3206	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
10	9	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
11		df-rex 2514	. . 3 |- ( E. x e. A -. x e. B <-> E. x ( x e. A /\ -. x e. B ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 |- ( E. x x e. ( A \ B ) <-> E. x e. A -. x e. B )
13	8, 12	sylib 122	1 |- ( ph -> E. x e. A -. x e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   \ cdif 3194   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   omcom 4682   ~<_ cdom 6886   Fincfn 6887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-dju 7205  df-inl 7214  df-inr 7215  df-case 7251

This theorem is referenced by:  ctinf  13001