ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unbendc Unicode version
Theorem unbendc 12910
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
unbendc |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Distinct variable groups:   m, n, A   x, A
Proof of Theorem unbendc
Dummy variables q w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1003 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ NN )
2 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
31, 2sseldd 3198 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. NN )
43nnzd 9524 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. ZZ )
5 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
61, 5sseldd 3198 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. NN )
76nnzd 9524 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. ZZ )
8 zdceq 9478 . . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID y = z )
94, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> DECID y = z )
109ralrimivva 2589 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. A A. z e. A DECID y = z )
11 ssnnct 12903 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
12113adant3 1020 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13 nninfdc 12909 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )
14 infm 7022 . . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. q q e. A )
15 ctm 7232 . . . 4 |- ( E. q q e. A -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1613, 14, 153syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1712, 16mpbid 147 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> A )
18 ctinf 12886 . 2 |- ( A ~~ NN <-> ( A. y e. A A. z e. A DECID y = z /\ E. w w : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
1910, 17, 13, 18syl3anbrc 1184 1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   C_ wss 3170   class class class wbr 4054   omcom 4651   -onto->wfo 5283   1oc1o 6513   ~~ cen 6843   ~<_ cdom 6844   ⊔ cdju 7160   < clt 8137   NNcn 9066   ZZcz 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-er 6638  df-pm 6756  df-en 6846  df-dom 6847  df-fin 6848  df-sup 7107  df-inf 7108  df-dju 7161  df-inl 7170  df-inr 7171  df-case 7207  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-seqfrec 10625
This theorem is referenced by:  prminf  12911
  Copyright terms: Public domain W3C validator