ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unbendc Unicode version
Theorem unbendc 13205
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
unbendc |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Distinct variable groups:   m, n, A   x, A
Proof of Theorem unbendc
Dummy variables q w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1027 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ NN )
2 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
31, 2sseldd 3239 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. NN )
43nnzd 9699 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. ZZ )
5 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
61, 5sseldd 3239 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. NN )
76nnzd 9699 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. ZZ )
8 zdceq 9653 . . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID y = z )
94, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> DECID y = z )
109ralrimivva 2624 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. A A. z e. A DECID y = z )
11 ssnnct 13198 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
12113adant3 1044 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13 nninfdc 13204 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )
14 infm 7164 . . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. q q e. A )
15 ctm 7400 . . . 4 |- ( E. q q e. A -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1613, 14, 153syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1712, 16mpbid 147 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> A )
18 ctinf 13181 . 2 |- ( A ~~ NN <-> ( A. y e. A A. z e. A DECID y = z /\ E. w w : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
1910, 17, 13, 18syl3anbrc 1208 1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   omcom 4712   -onto->wfo 5350   1oc1o 6640   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974   ⊔ cdju 7328   < clt 8308   NNcn 9237   ZZcz 9577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810
This theorem is referenced by:  prminf  13206
  Copyright terms: Public domain W3C validator