ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unbendc Unicode version
Theorem unbendc 12671
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
unbendc |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Distinct variable groups:   m, n, A   x, A
Proof of Theorem unbendc
Dummy variables q w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ NN )
2 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
31, 2sseldd 3184 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. NN )
43nnzd 9447 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. ZZ )
5 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
61, 5sseldd 3184 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. NN )
76nnzd 9447 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. ZZ )
8 zdceq 9401 . . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID y = z )
94, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> DECID y = z )
109ralrimivva 2579 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. A A. z e. A DECID y = z )
11 ssnnct 12664 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
12113adant3 1019 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13 nninfdc 12670 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )
14 infm 6965 . . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. q q e. A )
15 ctm 7175 . . . 4 |- ( E. q q e. A -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1613, 14, 153syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1712, 16mpbid 147 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> A )
18 ctinf 12647 . 2 |- ( A ~~ NN <-> ( A. y e. A A. z e. A DECID y = z /\ E. w w : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
1910, 17, 13, 18syl3anbrc 1183 1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   omcom 4626   -onto->wfo 5256   1oc1o 6467   ~~ cen 6797   ~<_ cdom 6798   ⊔ cdju 7103   < clt 8061   NNcn 8990   ZZcz 9326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540
This theorem is referenced by:  prminf  12672
  Copyright terms: Public domain W3C validator