ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unbendc Unicode version
Theorem unbendc 12383
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
unbendc |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Distinct variable groups:   m, n, A   x, A
Proof of Theorem unbendc
Dummy variables q w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 990 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ NN )
2 simprl 521 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
31, 2sseldd 3142 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. NN )
43nnzd 9308 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. ZZ )
5 simprr 522 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
61, 5sseldd 3142 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. NN )
76nnzd 9308 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. ZZ )
8 zdceq 9262 . . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID y = z )
94, 7, 8syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> DECID y = z )
109ralrimivva 2547 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. A A. z e. A DECID y = z )
11 ssnnct 12376 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
12113adant3 1007 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13 nninfdc 12382 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )
14 infm 6866 . . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. q q e. A )
15 ctm 7070 . . . 4 |- ( E. q q e. A -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1613, 14, 153syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1712, 16mpbid 146 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> A )
18 ctinf 12359 . 2 |- ( A ~~ NN <-> ( A. y e. A A. z e. A DECID y = z /\ E. w w : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
1910, 17, 13, 18syl3anbrc 1171 1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   /\ w3a 968   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   omcom 4566   -onto->wfo 5185   1oc1o 6373   ~~ cen 6700   ~<_ cdom 6701   ⊔ cdju 6998   < clt 7929   NNcn 8853   ZZcz 9187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-er 6497  df-pm 6613  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-dju 6999  df-inl 7008  df-inr 7009  df-case 7045  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-seqfrec 10377
This theorem is referenced by:  prminf  12384
  Copyright terms: Public domain W3C validator