ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unbendc Unicode version
Theorem unbendc 13062
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
unbendc |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Distinct variable groups:   m, n, A   x, A
Proof of Theorem unbendc
Dummy variables q w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1024 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ NN )
2 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
31, 2sseldd 3226 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. NN )
43nnzd 9589 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. ZZ )
5 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
61, 5sseldd 3226 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. NN )
76nnzd 9589 . . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. ZZ )
8 zdceq 9543 . . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID y = z )
94, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> DECID y = z )
109ralrimivva 2612 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. A A. z e. A DECID y = z )
11 ssnnct 13055 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
12113adant3 1041 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13 nninfdc 13061 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )
14 infm 7087 . . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. q q e. A )
15 ctm 7297 . . . 4 |- ( E. q q e. A -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1613, 14, 153syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( E. w w : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. w w : om -onto-> A ) )
1712, 16mpbid 147 . 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. w w : om -onto-> A )
18 ctinf 13038 . 2 |- ( A ~~ NN <-> ( A. y e. A A. z e. A DECID y = z /\ E. w w : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
1910, 17, 13, 18syl3anbrc 1205 1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   class class class wbr 4084   omcom 4684   -onto->wfo 5320   1oc1o 6568   ~~ cen 6900   ~<_ cdom 6901   ⊔ cdju 7225   < clt 8202   NNcn 9131   ZZcz 9467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-isom 5331  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-pm 6813  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-sup 7172  df-inf 7173  df-dju 7226  df-inl 7235  df-inr 7236  df-case 7272  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-seqfrec 10698
This theorem is referenced by:  prminf  13063
  Copyright terms: Public domain W3C validator