ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm GIF version

Theorem infm 6547
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6396 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
2 f1f 5164 . . . . 5 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
32adantl 271 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4 peano1 4372 . . . . 5 ∅ ∈ ω
54a1i 9 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∅ ∈ ω)
63, 5ffvelrnd 5380 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7 elex2 2626 . . 3 ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
86, 7syl 14 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
91, 8exlimddv 1821 1 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wex 1422  wcel 1434  c0 3269   class class class wbr 3811  ωcom 4368  wf 4965  1-1wf1 4966  cfv 4969  cdom 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fv 4977  df-dom 6389
This theorem is referenced by:  infn0  6548  inffiexmid  6549
  Copyright terms: Public domain W3C validator