Theorem infm 7062

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6896	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		f1f 5530	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4		peano1 4685	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∅ ∈ ω)
6	3, 5	ffvelcdmd 5770	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7		elex2 2816	. . 3 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1945	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491   class class class wbr 4082  ωcom 4681  ⟶wf 5313  –1-1→wf1 5314  ‘cfv 5317   ≼ cdom 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fv 5325  df-dom 6887

This theorem is referenced by:  infn0  7063  inffiexmid  7064  inffinp1  12995  unbendc  13020