Theorem infm 7139

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6963	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		f1f 5551	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4		peano1 4698	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∅ ∈ ω)
6	3, 5	ffvelcdmd 5791	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7		elex2 2820	. . 3 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1947	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496   class class class wbr 4093  ωcom 4694  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330  ‘cfv 5333   ≼ cdom 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fv 5341  df-dom 6954

This theorem is referenced by:  infn0  7140  inffiexmid  7141  inffinp1  13113  unbendc  13138