Theorem infm 6906

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6751	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		f1f 5423	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4		peano1 4595	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∅ ∈ ω)
6	3, 5	ffvelcdmd 5654	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7		elex2 2755	. . 3 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1898	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  ωcom 4591  ⟶wf 5214  –1-1→wf1 5215  ‘cfv 5218   ≼ cdom 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fv 5226  df-dom 6744

This theorem is referenced by:  infn0  6907  inffiexmid  6908  inffinp1  12432  unbendc  12457