Theorem infm 6806

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6651	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		f1f 5336	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
3	2	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4		peano1 4516	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∅ ∈ ω)
6	3, 5	ffvelrnd 5564	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7		elex2 2705	. . 3 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1871	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∅c0 3368   class class class wbr 3937  ωcom 4512  ⟶wf 5127  –1-1→wf1 5128  ‘cfv 5131   ≼ cdom 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fv 5139  df-dom 6644

This theorem is referenced by:  infn0  6807  inffiexmid  6808  inffinp1  11978