ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm GIF version

Theorem infm 6901
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6746 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
2 f1f 5420 . . . . 5 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
32adantl 277 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4 peano1 4592 . . . . 5 ∅ ∈ ω
54a1i 9 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∅ ∈ ω)
63, 5ffvelcdmd 5651 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7 elex2 2753 . . 3 ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
86, 7syl 14 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
91, 8exlimddv 1898 1 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wex 1492  wcel 2148  c0 3422   class class class wbr 4002  ωcom 4588  wf 5211  1-1wf1 5212  cfv 5215  cdom 6736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fv 5223  df-dom 6739
This theorem is referenced by:  infn0  6902  inffiexmid  6903  inffinp1  12422  unbendc  12447
  Copyright terms: Public domain W3C validator