ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm GIF version

Theorem infm 6798
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6643 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
2 f1f 5328 . . . . 5 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
32adantl 275 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω⟶𝐴)
4 peano1 4508 . . . . 5 ∅ ∈ ω
54a1i 9 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∅ ∈ ω)
63, 5ffvelrnd 5556 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
7 elex2 2702 . . 3 ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
86, 7syl 14 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
91, 8exlimddv 1870 1 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1468  wcel 1480  c0 3363   class class class wbr 3929  ωcom 4504  wf 5119  1-1wf1 5120  cfv 5123  cdom 6633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fv 5131  df-dom 6636
This theorem is referenced by:  infn0  6799  inffiexmid  6800  inffinp1  11955
  Copyright terms: Public domain W3C validator