Theorem ffvelcdmd 5676

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	|- ( ph -> F : A --> B )
ffvelcdmd.2	|- ( ph -> C e. A )

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmd	|- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		ffvelcdmd.1	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
3	2	ffvelcdmda 5675	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
4	1, 3	mpdan 421	1 |- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   -->wf 5234   ` cfv 5238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246

This theorem is referenced by:  isotr  5841  caofinvl  6133  rdgon  6415  frecabcl  6428  phplem4dom  6894  fidceq  6901  dif1en  6911  fin0  6917  fin0or  6918  infm  6936  en2eqpr  6939  fidcenumlemrks  6986  fidcenumlemr  6988  supisoti  7043  ordiso2  7068  updjudhcoinlf  7113  updjudhcoinrg  7114  caseinl  7124  caseinr  7125  difinfsnlem  7132  difinfsn  7133  ctmlemr  7141  ctssdclemn0  7143  ctssdc  7146  enumctlemm  7147  enumct  7148  nnnninfeq2  7162  nninfisol  7166  enomnilem  7171  finomni  7173  ismkvnex  7188  enmkvlem  7194  enwomnilem  7202  nninfwlpoimlemg  7208  nninfwlpoimlemginf  7209  exmidfodomrlemr  7236  exmidfodomrlemrALT  7237  cauappcvgprlemm  7679  cauappcvgprlemdisj  7685  cauappcvgprlemloc  7686  cauappcvgprlemladdfu  7688  cauappcvgprlemladdru  7690  cauappcvgprlemladdrl  7691  cauappcvgprlem1  7693  cauappcvgprlem2  7694  caucvgprlemnkj  7700  caucvgprlemnbj  7701  caucvgprlemm  7702  caucvgprlemloc  7709  caucvgprlemladdfu  7711  caucvgprlemladdrl  7712  caucvgprlem1  7713  caucvgprlem2  7714  caucvgprprlemnkltj  7723  caucvgprprlemnkeqj  7724  caucvgprprlemnbj  7727  caucvgprprlemmu  7729  caucvgprprlemopl  7731  caucvgprprlemloc  7737  caucvgprprlemexbt  7740  caucvgprprlemexb  7741  caucvgprprlemaddq  7742  caucvgprprlem1  7743  caucvgprprlem2  7744  caucvgsrlemcau  7827  caucvgsrlemgt1  7829  caucvgsrlemoffcau  7832  caucvgsrlemoffres  7834  caucvgsr  7836  axcaucvglemval  7931  axcaucvglemcau  7932  axcaucvglemres  7933  fseq1p1m1  10130  4fvwrd4  10176  fvinim0ffz  10277  frecuzrdgg  10453  frecuzrdgsuctlem  10460  seq3val  10497  seqvalcd  10498  seq3p1  10501  seqp1cd  10505  ser3mono  10517  seq3split  10518  seq3caopr2  10521  iseqf1olemkle  10523  iseqf1olemklt  10524  iseqf1olemqcl  10525  iseqf1olemnab  10527  iseqf1olemmo  10531  iseqf1olemqk  10533  iseqf1olemjpcl  10534  iseqf1olemqpcl  10535  iseqf1olemfvp  10536  seq3f1olemqsumkj  10537  seq3f1olemqsumk  10538  seq3f1olemqsum  10539  seq3f1olemstep  10540  seq3f1oleml  10542  seq3f1o  10543  seq3z  10550  seq3distr  10553  ser3ge0  10557  ser3le  10558  exp3vallem  10561  exp3val  10562  bcval5  10784  hashfz1  10804  resunimafz0  10852  leisorel  10858  zfz1isolemiso  10860  seq3coll  10863  caucvgrelemcau  11030  caucvgre  11031  cvg1nlemf  11033  cvg1nlemcau  11034  cvg1nlemres  11035  recvguniqlem  11044  resqrexlemdecn  11062  resqrexlemcalc3  11066  resqrexlemnmsq  11067  resqrexlemnm  11068  resqrexlemcvg  11069  resqrexlemoverl  11071  resqrexlemglsq  11072  resqrexlemga  11073  clim2ser  11386  clim2ser2  11387  climrecvg1n  11397  climcvg1nlem  11398  serf0  11401  sumeq2  11408  fsum3cvg  11427  summodclem2a  11430  fsum3  11436  fisumss  11441  fsumcl2lem  11447  fsumadd  11455  fsummulc2  11497  fsumrelem  11520  isumshft  11539  cvgratnnlemseq  11575  cvgratnnlemrate  11579  clim2prod  11588  clim2divap  11589  prodfrecap  11595  prodfdivap  11596  ntrivcvgap  11597  prodeq2  11606  fproddccvg  11621  prodmodclem3  11624  prodmodclem2a  11625  fprodseq  11632  fprodssdc  11639  fprodmul  11640  effsumlt  11741  nninfctlemfo  12082  nn0seqcvgd  12084  ialgrlem1st  12085  eulerthlemrprm  12272  eulerthlema  12273  eulerthlemh  12274  pcmpt2  12387  pcmptdvds  12388  1arithlem4  12409  1arith  12410  ennnfonelemdc  12461  ennnfonelemjn  12464  ennnfonelemg  12465  ennnfonelemp1  12468  ennnfonelemom  12470  ennnfonelemhdmp1  12471  ennnfonelemss  12472  ennnfonelemkh  12474  ennnfonelemhf1o  12475  ennnfonelemex  12476  ennnfonelemhom  12477  ennnfonelemnn0  12484  ennnfonelemim  12486  ctinfomlemom  12489  ctiunctlemudc  12499  ctiunctlemf  12500  ctiunctlemfo  12501  ssnnctlemct  12508  nninfdclemp1  12512  nninfdclemlt  12513  mhmf1o  12945  mhmco  12965  isgrpinv  13021  imasgrp2  13075  mhmid  13080  mhmmnd  13081  ghmgrp  13083  mulgval  13087  mulgfng  13089  mulgnnsubcl  13099  ghmid  13213  ghminv  13214  ghmmulg  13220  ghmnsgpreima  13233  ghmeqker  13235  ghmf1  13237  kerf1ghm  13238  ghmf1o  13239  imasring  13439  rhmopp  13551  lspcl  13732  psrbaglesuppg  13975  iscnp4  14203  cnptopco  14207  lmtopcnp  14235  upxp  14257  uptx  14259  txlm  14264  comet  14484  metcnp3  14496  metcnp  14497  metcnp2  14498  metcnpi3  14502  elcncf2  14546  cncfco  14563  limcimolemlt  14618  cnplimcim  14621  cnplimclemle  14622  cnplimclemr  14623  limccnpcntop  14629  dvlemap  14634  dvcnp2cntop  14648  dvaddxxbr  14650  dvmulxxbr  14651  dvcoapbr  14656  dvcjbr  14657  dvef  14673  lgsval  14891  lgscllem  14894  lgsval2lem  14897  lgsval4a  14909  lgsneg  14911  lgsdir  14922  lgsdilem2  14923  lgsdi  14924  lgsne0  14925  1dom1el  15229  pwle2  15235  subctctexmid  15237  nnsf  15241  peano4nninf  15242  nninfalllem1  15244  nninfsellemdc  15246  nninfsellemeq  15250  nninfsellemqall  15251  nninfsellemeqinf  15252  nninfomnilem  15254  isomninnlem  15266  trilpolemeq1  15276  trilpolemlt1  15277  iswomninnlem  15285  iswomni0  15287  ismkvnnlem  15288  nconstwlpolemgt0  15300  nconstwlpolem  15301