Theorem iooidg 10248

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 10247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
2	1	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
3		xrltnsym2 10133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
4	3	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5		rabeq0 3540	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅)
7	2, 6	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  ∅c0 3510   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝ^*cxr 8312   < clt 8313  (,)cioo 10227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-ioo 10231

This theorem is referenced by:  blssioo  15467