Theorem iooidg 9984

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
2	1	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
3		xrltnsym2 9869	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
4	3	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5		rabeq0 3480	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅)
7	2, 6	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  ∅c0 3450   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061  (,)cioo 9963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-ioo 9967

This theorem is referenced by:  blssioo  14789