Theorem iooidg 10294

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 10293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
2	1	anidms 401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)})
3		xrltnsym2 10179	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
4	3	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5		rabeq0 3552	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)} = ∅)
7	2, 6	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  ∅c0 3520   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354  (,)cioo 10273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-ioo 10277

This theorem is referenced by:  blssioo  15637