ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooidg GIF version

Theorem iooidg 9236
Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooidg (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9235 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
21anidms 389 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
3 xrltnsym2 9173 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
43ralrimiva 2442 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
5 rabeq0 3298 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
64, 5sylibr 132 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅)
72, 6eqtrd 2117 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  c0 3272   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  *cxr 7442   < clt 7443  (,)cioo 9215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-lttrn 7380
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-ioo 9219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator