ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooidg GIF version

Theorem iooidg 9533
Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooidg (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9532 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
21anidms 392 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
3 xrltnsym2 9421 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
43ralrimiva 2464 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
5 rabeq0 3339 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
64, 5sylibr 133 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅)
72, 6eqtrd 2132 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  {crab 2379  c0 3310   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  *cxr 7671   < clt 7672  (,)cioo 9512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-lttrn 7609
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-ioo 9516
This theorem is referenced by:  blssioo  12464
  Copyright terms: Public domain W3C validator