Theorem ixpssmap2g 6814

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6815 avoids ax-coll 4159. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	|- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6807	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> f : A --> U_ x e. A B )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f : A --> U_ x e. A B )
3		ixpfn 6791	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
4		fndm 5373	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> dom f = A )
5		vex 2775	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 4945	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	eqeltrrdi 2297	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> A e. _V )
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
9		elmapg 6748	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
10	8, 9	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
11	2, 10	mpbird 167	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
12	11	ex 115	. 2 |- ( U_ x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
13	12	ssrdv 3199	1 |- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   U_ciun 3927   dom cdm 4675   Fn wfn 5266   -->wf 5267  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735   X_cixp 6785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-map 6737  df-ixp 6786

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6815  prdsval  13105