ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpssmap2g Unicode version

Theorem ixpssmap2g 6754
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6755 avoids ax-coll 4133. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ixpssmap2g  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpf 6747 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f : A --> U_ x  e.  A  B
)
21adantl 277 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f : A --> U_ x  e.  A  B )
3 ixpfn 6731 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  Fn  A
)
4 fndm 5334 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
5 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
65dmex 4911 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
74, 6eqeltrrdi 2281 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
83, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A  e.  _V )
9 elmapg 6688 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  V  /\  A  e.  _V )  ->  ( f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A )  <->  f : A
--> U_ x  e.  A  B ) )
108, 9sylan2 286 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A )  <->  f : A
--> U_ x  e.  A  B ) )
112, 10mpbird 167 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
1211ex 115 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  V  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A ) ) )
1312ssrdv 3176 1  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   U_ciun 3901   dom cdm 4644    Fn wfn 5230   -->wf 5231  (class class class)co 5897    ^m cmap 6675   X_cixp 6725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-map 6677  df-ixp 6726
This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6755
  Copyright terms: Public domain W3C validator