Theorem ixpssmap2g 6786

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6787 avoids ax-coll 4148. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	|- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6779	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> f : A --> U_ x e. A B )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f : A --> U_ x e. A B )
3		ixpfn 6763	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
4		fndm 5357	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> dom f = A )
5		vex 2766	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 4932	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	eqeltrrdi 2288	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> A e. _V )
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
9		elmapg 6720	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
10	8, 9	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
11	2, 10	mpbird 167	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
12	11	ex 115	. 2 |- ( U_ x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
13	12	ssrdv 3189	1 |- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U_ciun 3916   dom cdm 4663   Fn wfn 5253   -->wf 5254  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707   X_cixp 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-map 6709  df-ixp 6758

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6787