Theorem ixpssmap2g 6575

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6576 avoids ax-coll 4003. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	|- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6568	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> f : A --> U_ x e. A B )
2	1	adantl 273	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f : A --> U_ x e. A B )
3		ixpfn 6552	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
4		fndm 5180	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> dom f = A )
5		vex 2660	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 4763	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	syl6eqelr 2206	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> A e. _V )
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
9		elmapg 6509	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
10	8, 9	sylan2 282	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
11	2, 10	mpbird 166	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
12	11	ex 114	. 2 |- ( U_ x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
13	12	ssrdv 3069	1 |- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   U_ciun 3779   dom cdm 4499   Fn wfn 5076   -->wf 5077  (class class class)co 5728   ^m cmap 6496   X_cixp 6546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-map 6498  df-ixp 6547

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6576