Theorem ixpssmap2g 6614

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6615 avoids ax-coll 4038. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	|- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6607	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> f : A --> U_ x e. A B )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f : A --> U_ x e. A B )
3		ixpfn 6591	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
4		fndm 5217	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> dom f = A )
5		vex 2684	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 4800	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	eqeltrrdi 2229	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> A e. _V )
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
9		elmapg 6548	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
10	8, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
11	2, 10	mpbird 166	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
12	11	ex 114	. 2 |- ( U_ x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
13	12	ssrdv 3098	1 |- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   U_ciun 3808   dom cdm 4534   Fn wfn 5113   -->wf 5114  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535   X_cixp 6585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537  df-ixp 6586

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6615