Theorem ixpssmap2g 6864

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6865 avoids ax-coll 4198. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
3		ixpfn 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
4		fndm 5416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
5		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
6	5	dmex 4987	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
7	4, 6	eqeltrrdi 2321	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9		elmapg 6798	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
10	8, 9	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
11	2, 10	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴))
12	11	ex 115	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴)))
13	12	ssrdv 3230	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∪ ciun 3964  dom cdm 4716   Fn wfn 5309  ⟶wf 5310  (class class class)co 5994   ↑_𝑚 cmap 6785  Xcixp 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-map 6787  df-ixp 6836

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6865  prdsval  13292