Theorem ixpssmapg 7010

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	|- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6986	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
2		fndm 5480	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> dom f = A )
3		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
4	3	dmex 5049	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2330	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
7		id 19	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. V )
8		iunexg 6348	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> U_ x e. A B e. _V )
10		ixpssmap2g 7009	. . . . 5 |- ( U_ x e. A B e. _V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. X_ x e. A B )
13	11, 12	sseldd 3249	. . 3 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
15	14	ssrdv 3254	1 |- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U_ciun 4012   dom cdm 4774   Fn wfn 5372  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   X_cixp 6980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-ixp 6981

This theorem is used by:  ixpssmap  7014