ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpssmapg Unicode version

Theorem ixpssmapg 6576
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpssmapg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 6552 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  Fn  A
)
2 fndm 5180 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
3 vex 2660 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
43dmex 4763 . . . . . . . 8  |-  dom  f  e.  _V
52, 4syl6eqelr 2206 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
61, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A  e.  _V )
7 id 19 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
8 iunexg 5971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
96, 7, 8syl2anr 286 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
10 ixpssmap2g 6575 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
) )
12 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  X_ x  e.  A  B )
1311, 12sseldd 3064 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
1413ex 114 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A ) ) )
1514ssrdv 3069 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   A.wral 2390   _Vcvv 2657    C_ wss 3037   U_ciun 3779   dom cdm 4499    Fn wfn 5076  (class class class)co 5728    ^m cmap 6496   X_cixp 6546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-map 6498  df-ixp 6547
This theorem is referenced by:  ixpssmap  6580
  Copyright terms: Public domain W3C validator