Theorem ixpssmapg 6741

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	|- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6717	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
2		fndm 5327	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> dom f = A )
3		vex 2752	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
4	3	dmex 4905	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2279	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
7		id 19	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. V )
8		iunexg 6133	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> U_ x e. A B e. _V )
10		ixpssmap2g 6740	. . . . 5 |- ( U_ x e. A B e. _V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. X_ x e. A B )
13	11, 12	sseldd 3168	. . 3 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
15	14	ssrdv 3173	1 |- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   U_ciun 3898   dom cdm 4638   Fn wfn 5223  (class class class)co 5888   ^m cmap 6661   X_cixp 6711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-map 6663  df-ixp 6712

This theorem is referenced by:  ixpssmap  6745