Theorem ixpssmapg 6718

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	|- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6694	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
2		fndm 5307	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> dom f = A )
3		vex 2738	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
4	3	dmex 4886	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2267	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
7		id 19	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. V )
8		iunexg 6110	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> U_ x e. A B e. _V )
10		ixpssmap2g 6717	. . . . 5 |- ( U_ x e. A B e. _V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. X_ x e. A B )
13	11, 12	sseldd 3154	. . 3 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
15	14	ssrdv 3159	1 |- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   U_ciun 3882   dom cdm 4620   Fn wfn 5203  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638   X_cixp 6688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640  df-ixp 6689

This theorem is referenced by:  ixpssmap  6722