Theorem ixpssmapg 6746

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	|- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6722	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
2		fndm 5330	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> dom f = A )
3		vex 2755	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
4	3	dmex 4908	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2281	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
7		id 19	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. V )
8		iunexg 6138	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> U_ x e. A B e. _V )
10		ixpssmap2g 6745	. . . . 5 |- ( U_ x e. A B e. _V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. X_ x e. A B )
13	11, 12	sseldd 3171	. . 3 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
15	14	ssrdv 3176	1 |- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   U_ciun 3901   dom cdm 4641   Fn wfn 5226  (class class class)co 5891   ^m cmap 6666   X_cixp 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-map 6668  df-ixp 6717

This theorem is referenced by:  ixpssmap  6750