Theorem ixpssmapg 6963

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	|- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6939	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
2		fndm 5455	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> dom f = A )
3		vex 2816	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
4	3	dmex 5024	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2324	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
7		id 19	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. V )
8		iunexg 6312	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> U_ x e. A B e. _V )
10		ixpssmap2g 6962	. . . . 5 |- ( U_ x e. A B e. _V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. X_ x e. A B )
13	11, 12	sseldd 3239	. . 3 |- ( ( A. x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
15	14	ssrdv 3244	1 |- ( A. x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   U_ciun 3991   dom cdm 4749   Fn wfn 5347  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   X_cixp 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884  df-ixp 6934

This theorem is referenced by:  ixpssmap  6967