ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxval GIF version

Theorem ixxval 9691
Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxval ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxval
StepHypRef Expression
1 breq1 3932 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑅𝑧𝐴𝑅𝑧))
21anbi1d 460 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)))
32rabbidv 2675 . 2 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
4 breq2 3933 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝑆𝑦𝑧𝑆𝐵))
54anbi2d 459 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)))
65rabbidv 2675 . 2 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
7 ixx.1 . 2 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
8 xrex 9651 . . 3 * ∈ V
98rabex 4072 . 2 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ∈ V
103, 6, 7, 9ovmpo 5906 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cmpo 5776  *cxr 7811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816
This theorem is referenced by:  elixx1  9692  iooval  9703  iocval  9713  icoval  9714  iccval  9715
  Copyright terms: Public domain W3C validator