Theorem ivthinclemuopn 15352

Description: Lemma for ivthinc 15357. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivthinc.i	|- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
ivthinclem.l	|- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
ivthinclem.r	|- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
ivthinclemuopn.r	|- ( ph -> S e. R )

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemuopn	|- ( ph -> E. q e. R q < S )

Distinct variable groups:   w, A   x, A, y   w, B   x, B, y   w, F   x, F, y   R, q   S, q   w, S   x, S, y   w, U   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w, q)   A( q)   B( q)   D( x, y, w, q)   R( x, y, w)   U( x, y, q)   F( q)   L( x, y, w, q)

Proof of Theorem ivthinclemuopn

Dummy variables z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
2		ivth.5	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
3		ivthinclemuopn.r	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. R )
4		fveq2 5635	. . . . . . . 8 |- ( w = S -> ( F ` w ) = ( F ` S ) )
5	4	breq2d 4098	. . . . . . 7 |- ( w = S -> ( U < ( F ` w ) <-> U < ( F ` S ) ) )
6		ivthinclem.r	. . . . . . 7 |- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
7	5, 6	elrab2 2963	. . . . . 6 |- ( S e. R <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` S ) ) )
8	3, 7	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` S ) ) )
9	8	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
10	2, 9	sseldd 3226	. . 3 |- ( ph -> S e. D )
11		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( x = S -> ( F ` x ) = ( F ` S ) )
12	11	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` S ) e. RR ) )
13		ivth.8	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
15	12, 14, 9	rspcdva 2913	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
16		ivth.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
17	15, 16	resubcld 8550	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR )
18	8	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` S ) )
19	16, 15	posdifd 8702	. . . . 5 |- ( ph -> ( U < ( F ` S ) <-> 0 < ( ( F ` S ) - U ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) - U ) )
21	17, 20	elrpd 9918	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR+ )
22		cncfi 15292	. . 3 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ S e. D /\ ( ( F ` S ) - U ) e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
26		elicc2 10163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( S e. ( A [,] B ) <-> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) <-> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) )
29	28	simp1d 1033	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. RR )
31		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> d e. RR+ )
32	31	rphalfcld 9934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR+ )
33	32	rpred 9921	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR )
34	30, 33	resubcld 8550	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. RR )
35	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A e. RR )
36	31	rpred 9921	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> d e. RR )
37	30, 36	resubcld 8550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - d ) e. RR )
38	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` S ) e. RR )
39	38	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` S ) e. CC )
40	16	recnd 8198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. CC )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U e. CC )
42	39, 41	nncand 8485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) = U )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( S - d ) < A )
44	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A e. RR )
45	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> S e. RR )
46	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> d e. RR+ )
47	46	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> d e. RR )
48	45, 47	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( S + d ) e. RR )
49	28	simp2d 1034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A <_ S )
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A <_ S )
51	45, 46	ltaddrpd 9955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> S < ( S + d ) )
52	44, 45, 48, 50, 51	lelttrd 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A < ( S + d ) )
53	44, 45, 47	absdifltd 11729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d <-> ( ( S - d ) < A /\ A < ( S + d ) ) ) )
54	43, 52, 53	mpbir2and 950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( abs ` ( A - S ) ) < d )
55		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = A -> ( abs ` ( z - S ) ) = ( abs ` ( A - S ) ) )
56	55	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( ( abs ` ( z - S ) ) < d <-> ( abs ` ( A - S ) ) < d ) )
57	56	imbrov2fvoveq 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) <-> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
58		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
59	24	rexrd 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR* )
60	25	rexrd 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
61		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A < B )
62	24, 25, 61	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A <_ B )
63		lbicc2 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
64	59, 60, 62, 63	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
65	2, 64	sseldd 3226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. D )
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A e. D )
67	57, 58, 66	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
68	54, 67	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
69		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
70	69	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` A ) e. RR ) )
71	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
72	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A e. ( A [,] B ) )
73	70, 71, 72	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. RR )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` A ) e. RR )
75	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR )
76	74, 38, 75	absdifltd 11729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) <-> ( ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) /\ ( F ` A ) < ( ( F ` S ) + ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) )
77	68, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) /\ ( F ` A ) < ( ( F ` S ) + ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
78	77	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) )
79	42, 78	eqbrtrrd 4110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U < ( F ` A ) )
80	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U e. RR )
81		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
82	81	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` A ) < U )
84	74, 80, 83	ltnsymd 8289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> -. U < ( F ` A ) )
85	79, 84	pm2.65da 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> -. ( S - d ) < A )
86	35, 37, 85	nltled 8290	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A <_ ( S - d ) )
87		rphalflt 9908	. . . . . . . . 9 |- ( d e. RR+ -> ( d / 2 ) < d )
88	31, 87	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) < d )
89	33, 36, 30, 88	ltsub2dd 8728	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - d ) < ( S - ( d / 2 ) ) )
90	35, 37, 34, 86, 89	lelttrd 8294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A < ( S - ( d / 2 ) ) )
91	35, 34, 90	ltled 8288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A <_ ( S - ( d / 2 ) ) )
92	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> B e. RR )
93	30, 32	ltsubrpd 9954	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) < S )
94	34, 30, 93	ltled 8288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) <_ S )
95	28	simp3d 1035	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ B )
96	95	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S <_ B )
97	34, 30, 92, 94, 96	letrd 8293	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) <_ B )
98		elicc2 10163	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( S - ( d / 2 ) ) /\ ( S - ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
99	35, 92, 98	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( S - ( d / 2 ) ) /\ ( S - ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
100	34, 91, 97, 99	mpbir3and 1204	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) )
101		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
102	101	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) e. RR ) )
103	102, 71, 100	rspcdva 2913	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) e. RR )
104	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` S ) e. RR )
105		breq2 4090	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = S -> ( ( S - ( d / 2 ) ) < y <-> ( S - ( d / 2 ) ) < S ) )
106		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = S -> ( F ` y ) = ( F ` S ) )
107	106	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = S -> ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) )
108	105, 107	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = S -> ( ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) < S -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) ) )
109		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( x < y <-> ( S - ( d / 2 ) ) < y ) )
110	101	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) )
111	109, 110	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) ) )
112	111	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) ) )
113		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
114	113	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
115	114	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
116	115	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
118	112, 117, 100	rspcdva 2913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) )
119	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. ( A [,] B ) )
120	108, 118, 119	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) < S -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) )
121	93, 120	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) )
122	103, 104, 121	ltled 8288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) <_ ( F ` S ) )
123	103, 104, 122	abssuble0d 11728	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) = ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
124	34	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. CC )
125	30	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. CC )
126	124, 125	abssubd 11744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) = ( abs ` ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
127	33	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. CC )
128	125, 127	nncand 8485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) = ( d / 2 ) )
129	128	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( d / 2 ) ) )
130	32	rpge0d 9925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> 0 <_ ( d / 2 ) )
131	33, 130	absidd 11718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( d / 2 ) ) = ( d / 2 ) )
132	126, 129, 131	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) = ( d / 2 ) )
133	132, 88	eqbrtrd 4108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d )
134		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( abs ` ( z - S ) ) = ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) )
135	134	breq1d 4096	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( z - S ) ) < d <-> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d ) )
136	135	imbrov2fvoveq 6038	. . . . . . . 8 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) <-> ( ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
137		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
138	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ D )
139	138, 100	sseldd 3226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. D )
140	136, 137, 139	rspcdva 2913	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
141	133, 140	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
142	123, 141	eqbrtrrd 4110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
143	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> U e. RR )
144	143, 103, 104	ltsub2d 8725	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
146		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( w = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
147	146	breq2d 4098	. . . . 5 |- ( w = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( U < ( F ` w ) <-> U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
148	147, 6	elrab2 2963	. . . 4 |- ( ( S - ( d / 2 ) ) e. R <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
149	100, 145, 148	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. R )
150		breq1 4089	. . . 4 |- ( q = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( q < S <-> ( S - ( d / 2 ) ) < S ) )
151	150	rspcev 2908	. . 3 |- ( ( ( S - ( d / 2 ) ) e. R /\ ( S - ( d / 2 ) ) < S ) -> E. q e. R q < S )
152	149, 93, 151	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> E. q e. R q < S )
153	23, 152	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> E. q e. R q < S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   RR*cxr 8203   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   / cdiv 8842   2c2 9184   RR+crp 9878   [,]cicc 10116   abscabs 11548   -cn->ccncf 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-icc 10120  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-cncf 15285

This theorem is referenced by:  ivthinclemur  15353