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Theorem ivthinclemuopn 13016
Description: Lemma for ivthinc 13021. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemuopn.r  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemuopn  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    R, q    S, q    w, S    x, S, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, q)    A( q)    B( q)    D( x, y, w, q)    R( x, y, w)    U( x, y, q)    F( q)    L( x, y, w, q)

Proof of Theorem ivthinclemuopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemuopn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
4 fveq2 5468 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  S  ->  ( F `  w )  =  ( F `  S ) )
54breq2d 3977 . . . . . . 7  |-  ( w  =  S  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  S ) ) )
6 ivthinclem.r . . . . . . 7  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
75, 6elrab2 2871 . . . . . 6  |-  ( S  e.  R  <->  ( S  e.  ( A [,] B
)  /\  U  <  ( F `  S ) ) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  S )
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3129 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
11 fveq2 5468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  ( F `  x )  =  ( F `  S ) )
1211eleq1d 2226 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  S )  e.  RR ) )
13 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1413ralrimiva 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1512, 14, 9rspcdva 2821 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
16 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1715, 16resubcld 8256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 S ) )
1916, 15posdifd 8407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
2117, 20elrpd 9600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR+ )
22 cncfi 12965 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  S  e.  D  /\  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1220 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) )
2928simp1d 994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  RR )
31 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR+ )
3332rpred 9603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR )
3430, 33resubcld 8256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3631rpred 9603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR )
3730, 36resubcld 8256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  e.  RR )
3815ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  RR )
3938recnd 7906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  CC )
4016recnd 7906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
4140ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  CC )
4239, 41nncand 8191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  =  U )
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  -  d )  <  A )
4424ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  RR )
4529ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  e.  RR )
4631adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR+ )
4746rpred 9603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR )
4845, 47readdcld 7907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  +  d )  e.  RR )
4928simp2d 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
5049ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <_  S )
5145, 46ltaddrpd 9637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  <  ( S  +  d ) )
5244, 45, 48, 50, 51lelttrd 8000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <  ( S  +  d ) )
5344, 45, 47absdifltd 11078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  <->  ( ( S  -  d )  <  A  /\  A  < 
( S  +  d ) ) ) )
5443, 52, 53mpbir2and 929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( A  -  S ) )  < 
d )
55 fvoveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  A  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  ( A  -  S )
) )
5655breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  S
) )  <  d
) )
5756imbrov2fvoveq 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) ) )
58 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) )
5924rexrd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6025rexrd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
61 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6224, 25, 61ltled 7994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
63 lbicc2 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
6459, 60, 62, 63syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
652, 64sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
6665ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  D )
6757, 58, 66rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
6854, 67mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  S ) ) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) )
69 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
7069eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  A )  e.  RR ) )
7114adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
7264adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
7370, 71, 72rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
7473adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
7517ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR )
7674, 38, 75absdifltd 11078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U )  <->  ( (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `  S )  +  ( ( F `  S
)  -  U ) ) ) ) )
7768, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( ( F `  S )  -  (
( F `  S
)  -  U ) )  <  ( F `
 A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `
 S )  +  ( ( F `  S )  -  U
) ) ) )
7877simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A ) )
7942, 78eqbrtrrd 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  <  ( F `  A
) )
8016ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  RR )
81 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
8281simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
8382ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  <  U )
8474, 80, 83ltnsymd 7995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  -.  U  <  ( F `  A ) )
8579, 84pm2.65da 651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  -.  ( S  -  d
)  <  A )
8635, 37, 85nltled 7996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  d ) )
87 rphalflt 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
8831, 87syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  <  d )
8933, 36, 30, 88ltsub2dd 8433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  <  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )
9035, 37, 34, 86, 89lelttrd 8000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9135, 34, 90ltled 7994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9225adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
9330, 32ltsubrpd 9636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )
9434, 30, 93ltled 7994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  S )
9528simp3d 996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
9695adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  <_  B )
9734, 30, 92, 94, 96letrd 7999 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
98 elicc2 9842 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
9935, 92, 98syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10034, 91, 97, 99mpbir3and 1165 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
101 fveq2 5468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
102101eleq1d 2226 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
103102, 71, 100rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR )
10415adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  S
)  e.  RR )
105 breq2 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
106 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
107106breq2d 3977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  S )
) )
108105, 107imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  S  ->  (
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) ) )
109 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
x  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y ) )
110101breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) )
111109, 110imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <  ( F `  y ) ) ) )
112111ralbidv 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y  ->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) ) )
113 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
114113expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
115114ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
116115ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
117116adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y
) ) )
118112, 117, 100rspcdva 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) ) )
1199adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
120108, 118, 119rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) )
12193, 120mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) )
122103, 104, 121ltled 7994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <_  ( F `  S ) )
123103, 104, 122abssuble0d 11077 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  =  ( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) ) )
12434recnd 7906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  CC )
12530recnd 7906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  CC )
126124, 125abssubd 11093 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12733recnd 7906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  CC )
128125, 127nncand 8191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  =  ( d  /  2 ) )
129128fveq2d 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( d  /  2
) ) )
13032rpge0d 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
0  <_  ( d  /  2 ) )
13133, 130absidd 11067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
d  /  2 ) )  =  ( d  /  2 ) )
132126, 129, 1313eqtrd 2194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( d  /  2 ) )
133132, 88eqbrtrd 3986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d )
134 fvoveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) ) )
135134breq1d 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  -  S
) )  <  d
) )
136135imbrov2fvoveq 5849 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )
137 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
1382adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( A [,] B
)  C_  D )
139138, 100sseldd 3129 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  D )
140136, 137, 139rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
141133, 140mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
142123, 141eqbrtrrd 3988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
14316adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
144143, 103, 104ltsub2d 8430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
145142, 144mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  <  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
146 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
147146breq2d 3977 . . . . 5  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
148147, 6elrab2 2871 . . . 4  |-  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  R  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
149100, 145, 148sylanbrc 414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R )
150 breq1 3968 . . . 4  |-  ( q  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
q  <  S  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
151150rspcev 2816 . . 3  |-  ( ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
152149, 93, 151syl2anc 409 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
15323, 152rexlimddv 2579 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732    + caddc 7735   RR*cxr 7911    < clt 7912    <_ cle 7913    - cmin 8046    / cdiv 8545   2c2 8884   RR+crp 9560   [,]cicc 9795   abscabs 10897   -cn->ccncf 12957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-icc 9799  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-cncf 12958
This theorem is referenced by:  ivthinclemur  13017
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