Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemuopn Unicode version

Theorem ivthinclemuopn 12770
 Description: Lemma for ivthinc 12775. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8
ivth.9
ivthinc.i
ivthinclem.l
ivthinclem.r
ivthinclemuopn.r
Assertion
Ref Expression
ivthinclemuopn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem ivthinclemuopn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3
2 ivth.5 . . . 4
3 ivthinclemuopn.r . . . . . 6
4 fveq2 5414 . . . . . . . 8
54breq2d 3936 . . . . . . 7
6 ivthinclem.r . . . . . . 7
75, 6elrab2 2838 . . . . . 6
83, 7sylib 121 . . . . 5
98simpld 111 . . . 4
102, 9sseldd 3093 . . 3
11 fveq2 5414 . . . . . . 7
1211eleq1d 2206 . . . . . 6
13 ivth.8 . . . . . . 7
1413ralrimiva 2503 . . . . . 6
1512, 14, 9rspcdva 2789 . . . . 5
16 ivth.3 . . . . 5
1715, 16resubcld 8136 . . . 4
188simprd 113 . . . . 5
1916, 15posdifd 8287 . . . . 5
2018, 19mpbid 146 . . . 4
2117, 20elrpd 9474 . . 3
22 cncfi 12719 . . 3
231, 10, 21, 22syl3anc 1216 . 2
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10
26 elicc2 9714 . . . . . . . . . 10
2724, 25, 26syl2anc 408 . . . . . . . . 9
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8
2928simp1d 993 . . . . . . 7
3029adantr 274 . . . . . 6
31 simprl 520 . . . . . . . 8
3231rphalfcld 9489 . . . . . . 7
3332rpred 9476 . . . . . 6
3430, 33resubcld 8136 . . . . 5
3524adantr 274 . . . . . 6
3631rpred 9476 . . . . . . . 8
3730, 36resubcld 8136 . . . . . . 7
3815ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12
3938recnd 7787 . . . . . . . . . . 11
4016recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
4239, 41nncand 8071 . . . . . . . . . 10
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
4424ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
4529ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
4631adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746rpred 9476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845, 47readdcld 7788 . . . . . . . . . . . . . . 15
4928simp2d 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
5145, 46ltaddrpd 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15
5244, 45, 48, 50, 51lelttrd 7880 . . . . . . . . . . . . . 14
5344, 45, 47absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . . 14
5443, 52, 53mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . 13
55 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . 14
5924rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6025rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6224, 25, 61ltled 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 lbicc2 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6459, 60, 62, 63syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
652, 64sseldd 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14
6757, 58, 66rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . 13
6854, 67mpd 13 . . . . . . . . . . . 12
69 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . 15
7114adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
7264adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
7370, 71, 72rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14
7473adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
7517ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 38, 75absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . 12
7768, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . 11
7877simpld 111 . . . . . . . . . 10
7942, 78eqbrtrrd 3947 . . . . . . . . 9
8016ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
81 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12
8281simpld 111 . . . . . . . . . . 11
8382ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
8474, 80, 83ltnsymd 7875 . . . . . . . . 9
8579, 84pm2.65da 650 . . . . . . . 8
8635, 37, 85nltled 7876 . . . . . . 7
87 rphalflt 9464 . . . . . . . . 9
8831, 87syl 14 . . . . . . . 8
8933, 36, 30, 88ltsub2dd 8313 . . . . . . 7
9035, 37, 34, 86, 89lelttrd 7880 . . . . . 6
9135, 34, 90ltled 7874 . . . . 5
9225adantr 274 . . . . . 6
9330, 32ltsubrpd 9509 . . . . . . 7
9434, 30, 93ltled 7874 . . . . . 6
9528simp3d 995 . . . . . . 7
9695adantr 274 . . . . . 6
9734, 30, 92, 94, 96letrd 7879 . . . . 5
98 elicc2 9714 . . . . . 6
9935, 92, 98syl2anc 408 . . . . 5
10034, 91, 97, 99mpbir3and 1164 . . . 4
101 fveq2 5414 . . . . . . . . 9
102101eleq1d 2206 . . . . . . . 8
103102, 71, 100rspcdva 2789 . . . . . . 7
10415adantr 274 . . . . . . 7
105 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11
106 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12
107106breq2d 3936 . . . . . . . . . . 11
108105, 107imbi12d 233 . . . . . . . . . 10
109 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13
110101breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . 13
111109, 110imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12
112111ralbidv 2435 . . . . . . . . . . 11
113 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15
114113expr 372 . . . . . . . . . . . . . 14
115114ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . . 13
116115ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . 12
117116adantr 274 . . . . . . . . . . 11
118112, 117, 100rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10
1199adantr 274 . . . . . . . . . 10
120108, 118, 119rspcdva 2789 . . . . . . . . 9
12193, 120mpd 13 . . . . . . . 8
122103, 104, 121ltled 7874 . . . . . . 7
123103, 104, 122abssuble0d 10942 . . . . . 6
12434recnd 7787 . . . . . . . . . 10
12530recnd 7787 . . . . . . . . . 10
126124, 125abssubd 10958 . . . . . . . . 9
12733recnd 7787 . . . . . . . . . . 11
128125, 127nncand 8071 . . . . . . . . . 10
129128fveq2d 5418 . . . . . . . . 9
13032rpge0d 9480 . . . . . . . . . 10
13133, 130absidd 10932 . . . . . . . . 9
132126, 129, 1313eqtrd 2174 . . . . . . . 8
133132, 88eqbrtrd 3945 . . . . . . 7
134 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . 10
135134breq1d 3934 . . . . . . . . 9
136135imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . 8
137 simprr 521 . . . . . . . 8
1382adantr 274 . . . . . . . . 9
139138, 100sseldd 3093 . . . . . . . 8
140136, 137, 139rspcdva 2789 . . . . . . 7
141133, 140mpd 13 . . . . . 6
142123, 141eqbrtrrd 3947 . . . . 5
14316adantr 274 . . . . . 6
144143, 103, 104ltsub2d 8310 . . . . 5
145142, 144mpbird 166 . . . 4
146 fveq2 5414 . . . . . 6
147146breq2d 3936 . . . . 5
148147, 6elrab2 2838 . . . 4
149100, 145, 148sylanbrc 413 . . 3
150 breq1 3927 . . . 4
151150rspcev 2784 . . 3
152149, 93, 151syl2anc 408 . 2
15323, 152rexlimddv 2552 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  crab 2418   wss 3066   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  cc0 7613   caddc 7616  cxr 7792   clt 7793   cle 7794   cmin 7926   cdiv 8425  c2 8764  crp 9434  cicc 9667  cabs 10762  ccncf 12711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-cncf 12712 This theorem is referenced by:  ivthinclemur  12771
 Copyright terms: Public domain W3C validator