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Theorem ivthinclemuopn 12770
Description: Lemma for ivthinc 12775. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemuopn.r  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemuopn  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    R, q    S, q    w, S    x, S, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, q)    A( q)    B( q)    D( x, y, w, q)    R( x, y, w)    U( x, y, q)    F( q)    L( x, y, w, q)

Proof of Theorem ivthinclemuopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemuopn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
4 fveq2 5414 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  S  ->  ( F `  w )  =  ( F `  S ) )
54breq2d 3936 . . . . . . 7  |-  ( w  =  S  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  S ) ) )
6 ivthinclem.r . . . . . . 7  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
75, 6elrab2 2838 . . . . . 6  |-  ( S  e.  R  <->  ( S  e.  ( A [,] B
)  /\  U  <  ( F `  S ) ) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  S )
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3093 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
11 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  ( F `  x )  =  ( F `  S ) )
1211eleq1d 2206 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  S )  e.  RR ) )
13 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1413ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1512, 14, 9rspcdva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
16 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1715, 16resubcld 8136 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 S ) )
1916, 15posdifd 8287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
2117, 20elrpd 9474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR+ )
22 cncfi 12719 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  S  e.  D  /\  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) )
2928simp1d 993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  RR )
31 simprl 520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR+ )
3332rpred 9476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR )
3430, 33resubcld 8136 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3631rpred 9476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR )
3730, 36resubcld 8136 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  e.  RR )
3815ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  RR )
3938recnd 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  CC )
4016recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
4140ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  CC )
4239, 41nncand 8071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  =  U )
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  -  d )  <  A )
4424ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  RR )
4529ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  e.  RR )
4631adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR+ )
4746rpred 9476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR )
4845, 47readdcld 7788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  +  d )  e.  RR )
4928simp2d 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
5049ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <_  S )
5145, 46ltaddrpd 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  <  ( S  +  d ) )
5244, 45, 48, 50, 51lelttrd 7880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <  ( S  +  d ) )
5344, 45, 47absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  <->  ( ( S  -  d )  <  A  /\  A  < 
( S  +  d ) ) ) )
5443, 52, 53mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( A  -  S ) )  < 
d )
55 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  A  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  ( A  -  S )
) )
5655breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  S
) )  <  d
) )
5756imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) ) )
58 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) )
5924rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6025rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
61 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6224, 25, 61ltled 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
63 lbicc2 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
6459, 60, 62, 63syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
652, 64sseldd 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
6665ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  D )
6757, 58, 66rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
6854, 67mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  S ) ) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) )
69 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
7069eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  A )  e.  RR ) )
7114adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
7264adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
7370, 71, 72rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
7473adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
7517ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR )
7674, 38, 75absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U )  <->  ( (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `  S )  +  ( ( F `  S
)  -  U ) ) ) ) )
7768, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( ( F `  S )  -  (
( F `  S
)  -  U ) )  <  ( F `
 A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `
 S )  +  ( ( F `  S )  -  U
) ) ) )
7877simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A ) )
7942, 78eqbrtrrd 3947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  <  ( F `  A
) )
8016ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  RR )
81 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
8281simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
8382ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  <  U )
8474, 80, 83ltnsymd 7875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  -.  U  <  ( F `  A ) )
8579, 84pm2.65da 650 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  -.  ( S  -  d
)  <  A )
8635, 37, 85nltled 7876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  d ) )
87 rphalflt 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
8831, 87syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  <  d )
8933, 36, 30, 88ltsub2dd 8313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  <  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )
9035, 37, 34, 86, 89lelttrd 7880 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9135, 34, 90ltled 7874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9225adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
9330, 32ltsubrpd 9509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )
9434, 30, 93ltled 7874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  S )
9528simp3d 995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
9695adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  <_  B )
9734, 30, 92, 94, 96letrd 7879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
98 elicc2 9714 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
9935, 92, 98syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10034, 91, 97, 99mpbir3and 1164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
101 fveq2 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
102101eleq1d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
103102, 71, 100rspcdva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR )
10415adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  S
)  e.  RR )
105 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
106 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
107106breq2d 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  S )
) )
108105, 107imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  S  ->  (
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) ) )
109 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
x  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y ) )
110101breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) )
111109, 110imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <  ( F `  y ) ) ) )
112111ralbidv 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y  ->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) ) )
113 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
114113expr 372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
115114ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
116115ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
117116adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y
) ) )
118112, 117, 100rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) ) )
1199adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
120108, 118, 119rspcdva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) )
12193, 120mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) )
122103, 104, 121ltled 7874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <_  ( F `  S ) )
123103, 104, 122abssuble0d 10942 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  =  ( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) ) )
12434recnd 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  CC )
12530recnd 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  CC )
126124, 125abssubd 10958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12733recnd 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  CC )
128125, 127nncand 8071 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  =  ( d  /  2 ) )
129128fveq2d 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( d  /  2
) ) )
13032rpge0d 9480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
0  <_  ( d  /  2 ) )
13133, 130absidd 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
d  /  2 ) )  =  ( d  /  2 ) )
132126, 129, 1313eqtrd 2174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( d  /  2 ) )
133132, 88eqbrtrd 3945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d )
134 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) ) )
135134breq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  -  S
) )  <  d
) )
136135imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )
137 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
1382adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( A [,] B
)  C_  D )
139138, 100sseldd 3093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  D )
140136, 137, 139rspcdva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
141133, 140mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
142123, 141eqbrtrrd 3947 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
14316adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
144143, 103, 104ltsub2d 8310 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
145142, 144mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  <  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
146 fveq2 5414 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
147146breq2d 3936 . . . . 5  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
148147, 6elrab2 2838 . . . 4  |-  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  R  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
149100, 145, 148sylanbrc 413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R )
150 breq1 3927 . . . 4  |-  ( q  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
q  <  S  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
151150rspcev 2784 . . 3  |-  ( ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
152149, 93, 151syl2anc 408 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
15323, 152rexlimddv 2552 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613    + caddc 7616   RR*cxr 7792    < clt 7793    <_ cle 7794    - cmin 7926    / cdiv 8425   2c2 8764   RR+crp 9434   [,]cicc 9667   abscabs 10762   -cn->ccncf 12711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-cncf 12712
This theorem is referenced by:  ivthinclemur  12771
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