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Theorem ivthinclemuopn 13410
Description: Lemma for ivthinc 13415. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemuopn.r  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemuopn  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    R, q    S, q    w, S    x, S, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, q)    A( q)    B( q)    D( x, y, w, q)    R( x, y, w)    U( x, y, q)    F( q)    L( x, y, w, q)

Proof of Theorem ivthinclemuopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemuopn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  R )
4 fveq2 5496 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  S  ->  ( F `  w )  =  ( F `  S ) )
54breq2d 4001 . . . . . . 7  |-  ( w  =  S  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  S ) ) )
6 ivthinclem.r . . . . . . 7  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
75, 6elrab2 2889 . . . . . 6  |-  ( S  e.  R  <->  ( S  e.  ( A [,] B
)  /\  U  <  ( F `  S ) ) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  S )
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3148 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
11 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  ( F `  x )  =  ( F `  S ) )
1211eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  S )  e.  RR ) )
13 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1413ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1512, 14, 9rspcdva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
16 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1715, 16resubcld 8300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 S ) )
1916, 15posdifd 8451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
2117, 20elrpd 9650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  U
)  e.  RR+ )
22 cncfi 13359 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  S  e.  D  /\  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  e.  RR  /\  A  <_  S  /\  S  <_  B ) )
2928simp1d 1004 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  RR )
31 simprl 526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR+ )
3332rpred 9653 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  RR )
3430, 33resubcld 8300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3631rpred 9653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
d  e.  RR )
3730, 36resubcld 8300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  e.  RR )
3815ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  RR )
3938recnd 7948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  S )  e.  CC )
4016recnd 7948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
4140ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  CC )
4239, 41nncand 8235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  =  U )
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  -  d )  <  A )
4424ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  RR )
4529ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  e.  RR )
4631adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR+ )
4746rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  d  e.  RR )
4845, 47readdcld 7949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( S  +  d )  e.  RR )
4928simp2d 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
5049ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <_  S )
5145, 46ltaddrpd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  S  <  ( S  +  d ) )
5244, 45, 48, 50, 51lelttrd 8044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  <  ( S  +  d ) )
5344, 45, 47absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  <->  ( ( S  -  d )  <  A  /\  A  < 
( S  +  d ) ) ) )
5443, 52, 53mpbir2and 939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( A  -  S ) )  < 
d )
55 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  A  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  ( A  -  S )
) )
5655breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  S
) )  <  d
) )
5756imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) ) )
58 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) )
5924rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6025rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
61 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6224, 25, 61ltled 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
63 lbicc2 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
6459, 60, 62, 63syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
652, 64sseldd 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
6665ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  A  e.  D )
6757, 58, 66rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  ( A  -  S )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  S ) ) )  <  ( ( F `
 S )  -  U ) ) )
6854, 67mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  S ) ) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) )
69 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
7069eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  A )  e.  RR ) )
7114adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
7264adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
7370, 71, 72rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
7473adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
7517ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  U )  e.  RR )
7674, 38, 75absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U )  <->  ( (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `  S )  +  ( ( F `  S
)  -  U ) ) ) ) )
7768, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( ( F `  S )  -  (
( F `  S
)  -  U ) )  <  ( F `
 A )  /\  ( F `  A )  <  ( ( F `
 S )  +  ( ( F `  S )  -  U
) ) ) )
7877simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  (
( F `  S
)  -  ( ( F `  S )  -  U ) )  <  ( F `  A ) )
7942, 78eqbrtrrd 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  <  ( F `  A
) )
8016ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  U  e.  RR )
81 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
8281simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
8382ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  ( F `  A )  <  U )
8474, 80, 83ltnsymd 8039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )  /\  ( S  -  d )  <  A )  ->  -.  U  <  ( F `  A ) )
8579, 84pm2.65da 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  -.  ( S  -  d
)  <  A )
8635, 37, 85nltled 8040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  d ) )
87 rphalflt 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
8831, 87syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  <  d )
8933, 36, 30, 88ltsub2dd 8477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  d
)  <  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )
9035, 37, 34, 86, 89lelttrd 8044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9135, 34, 90ltled 8038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A  <_  ( S  -  ( d  /  2
) ) )
9225adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
9330, 32ltsubrpd 9686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )
9434, 30, 93ltled 8038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  S )
9528simp3d 1006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
9695adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  <_  B )
9734, 30, 92, 94, 96letrd 8043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
98 elicc2 9895 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
9935, 92, 98syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10034, 91, 97, 99mpbir3and 1175 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
101 fveq2 5496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
102101eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
103102, 71, 100rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR )
10415adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  S
)  e.  RR )
105 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
106 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
107106breq2d 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  S )
) )
108105, 107imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  S  ->  (
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) ) )
109 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
x  <  y  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y ) )
110101breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) )
111109, 110imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  <  y  ->  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <  ( F `  y ) ) ) )
112111ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
y  ->  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) )  <  ( F `  y )
) ) )
113 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
114113expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
115114ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
116115ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
117116adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y
) ) )
118112, 117, 100rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  y  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 y ) ) )
1199adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
120108, 118, 119rspcdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( S  -  ( d  /  2
) )  <  S  ->  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) ) )
12193, 120mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <  ( F `
 S ) )
122103, 104, 121ltled 8038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  <_  ( F `  S ) )
123103, 104, 122abssuble0d 11141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  =  ( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) ) )
12434recnd 7948 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  CC )
12530recnd 7948 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  S  e.  CC )
126124, 125abssubd 11157 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12733recnd 7948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( d  /  2
)  e.  CC )
128125, 127nncand 8235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  =  ( d  /  2 ) )
129128fveq2d 5500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S  -  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( d  /  2
) ) )
13032rpge0d 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
0  <_  ( d  /  2 ) )
13133, 130absidd 11131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
d  /  2 ) )  =  ( d  /  2 ) )
132126, 129, 1313eqtrd 2207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  =  ( d  /  2 ) )
133132, 88eqbrtrd 4011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d )
134 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  S ) )  =  ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) ) )
135134breq1d 3999 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( S  -  ( d  /  2
) )  -  S
) )  <  d
) )
136135imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )  <-> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) ) )
137 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
1382adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( A [,] B
)  C_  D )
139138, 100sseldd 3148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  D )
140136, 137, 139rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( S  -  (
d  /  2 ) )  -  S ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
141133, 140mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 S ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
142123, 141eqbrtrrd 4013 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) )
14316adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
144143, 103, 104ltsub2d 8474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( F `  S )  -  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( F `  S )  -  U ) ) )
145142, 144mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  U  <  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
146 fveq2 5496 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( S  -  (
d  /  2 ) ) ) )
147146breq2d 4001 . . . . 5  |-  ( w  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  ( U  <  ( F `  w )  <->  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
148147, 6elrab2 2889 . . . 4  |-  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  R  <->  ( ( S  -  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  U  <  ( F `  ( S  -  ( d  /  2 ) ) ) ) )
149100, 145, 148sylanbrc 415 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  -> 
( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R )
150 breq1 3992 . . . 4  |-  ( q  =  ( S  -  ( d  /  2
) )  ->  (
q  <  S  <->  ( S  -  ( d  / 
2 ) )  < 
S ) )
151150rspcev 2834 . . 3  |-  ( ( ( S  -  (
d  /  2 ) )  e.  R  /\  ( S  -  (
d  /  2 ) )  <  S )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
152149, 93, 151syl2anc 409 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  S ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  S )
) )  <  (
( F `  S
)  -  U ) ) ) )  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
15323, 152rexlimddv 2592 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  R  q  <  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774    + caddc 7777   RR*cxr 7953    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090    / cdiv 8589   2c2 8929   RR+crp 9610   [,]cicc 9848   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352
This theorem is referenced by:  ivthinclemur  13411
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