Theorem ivthinclemuopn 15081

Description: Lemma for ivthinc 15086. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivthinc.i	|- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
ivthinclem.l	|- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
ivthinclem.r	|- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
ivthinclemuopn.r	|- ( ph -> S e. R )

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemuopn	|- ( ph -> E. q e. R q < S )

Distinct variable groups:   w, A   x, A, y   w, B   x, B, y   w, F   x, F, y   R, q   S, q   w, S   x, S, y   w, U   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w, q)   A( q)   B( q)   D( x, y, w, q)   R( x, y, w)   U( x, y, q)   F( q)   L( x, y, w, q)

Proof of Theorem ivthinclemuopn

Dummy variables z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
2		ivth.5	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
3		ivthinclemuopn.r	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. R )
4		fveq2 5575	. . . . . . . 8 |- ( w = S -> ( F ` w ) = ( F ` S ) )
5	4	breq2d 4055	. . . . . . 7 |- ( w = S -> ( U < ( F ` w ) <-> U < ( F ` S ) ) )
6		ivthinclem.r	. . . . . . 7 |- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
7	5, 6	elrab2 2931	. . . . . 6 |- ( S e. R <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` S ) ) )
8	3, 7	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` S ) ) )
9	8	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
10	2, 9	sseldd 3193	. . 3 |- ( ph -> S e. D )
11		fveq2 5575	. . . . . . 7 |- ( x = S -> ( F ` x ) = ( F ` S ) )
12	11	eleq1d 2273	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` S ) e. RR ) )
13		ivth.8	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	ralrimiva 2578	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
15	12, 14, 9	rspcdva 2881	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
16		ivth.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
17	15, 16	resubcld 8452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR )
18	8	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` S ) )
19	16, 15	posdifd 8604	. . . . 5 |- ( ph -> ( U < ( F ` S ) <-> 0 < ( ( F ` S ) - U ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) - U ) )
21	17, 20	elrpd 9814	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR+ )
22		cncfi 15021	. . 3 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ S e. D /\ ( ( F ` S ) - U ) e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
26		elicc2 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( S e. ( A [,] B ) <-> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) <-> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. RR /\ A <_ S /\ S <_ B ) )
29	28	simp1d 1011	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. RR )
31		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> d e. RR+ )
32	31	rphalfcld 9830	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR+ )
33	32	rpred 9817	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR )
34	30, 33	resubcld 8452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. RR )
35	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A e. RR )
36	31	rpred 9817	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> d e. RR )
37	30, 36	resubcld 8452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - d ) e. RR )
38	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` S ) e. RR )
39	38	recnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` S ) e. CC )
40	16	recnd 8100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. CC )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U e. CC )
42	39, 41	nncand 8387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) = U )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( S - d ) < A )
44	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A e. RR )
45	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> S e. RR )
46	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> d e. RR+ )
47	46	rpred 9817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> d e. RR )
48	45, 47	readdcld 8101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( S + d ) e. RR )
49	28	simp2d 1012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A <_ S )
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A <_ S )
51	45, 46	ltaddrpd 9851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> S < ( S + d ) )
52	44, 45, 48, 50, 51	lelttrd 8196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A < ( S + d ) )
53	44, 45, 47	absdifltd 11460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d <-> ( ( S - d ) < A /\ A < ( S + d ) ) ) )
54	43, 52, 53	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( abs ` ( A - S ) ) < d )
55		fvoveq1 5966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = A -> ( abs ` ( z - S ) ) = ( abs ` ( A - S ) ) )
56	55	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( ( abs ` ( z - S ) ) < d <-> ( abs ` ( A - S ) ) < d ) )
57	56	imbrov2fvoveq 5968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) <-> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
58		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
59	24	rexrd 8121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR* )
60	25	rexrd 8121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
61		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A < B )
62	24, 25, 61	ltled 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A <_ B )
63		lbicc2 10105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
64	59, 60, 62, 63	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
65	2, 64	sseldd 3193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. D )
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> A e. D )
67	57, 58, 66	rspcdva 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( A - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
68	54, 67	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
69		fveq2 5575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
70	69	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` A ) e. RR ) )
71	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
72	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A e. ( A [,] B ) )
73	70, 71, 72	rspcdva 2881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. RR )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` A ) e. RR )
75	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - U ) e. RR )
76	74, 38, 75	absdifltd 11460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) <-> ( ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) /\ ( F ` A ) < ( ( F ` S ) + ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) )
77	68, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) /\ ( F ` A ) < ( ( F ` S ) + ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
78	77	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( ( F ` S ) - ( ( F ` S ) - U ) ) < ( F ` A ) )
79	42, 78	eqbrtrrd 4067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U < ( F ` A ) )
80	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> U e. RR )
81		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
82	81	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> ( F ` A ) < U )
84	74, 80, 83	ltnsymd 8191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) /\ ( S - d ) < A ) -> -. U < ( F ` A ) )
85	79, 84	pm2.65da 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> -. ( S - d ) < A )
86	35, 37, 85	nltled 8192	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A <_ ( S - d ) )
87		rphalflt 9804	. . . . . . . . 9 |- ( d e. RR+ -> ( d / 2 ) < d )
88	31, 87	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) < d )
89	33, 36, 30, 88	ltsub2dd 8630	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - d ) < ( S - ( d / 2 ) ) )
90	35, 37, 34, 86, 89	lelttrd 8196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A < ( S - ( d / 2 ) ) )
91	35, 34, 90	ltled 8190	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A <_ ( S - ( d / 2 ) ) )
92	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> B e. RR )
93	30, 32	ltsubrpd 9850	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) < S )
94	34, 30, 93	ltled 8190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) <_ S )
95	28	simp3d 1013	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ B )
96	95	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S <_ B )
97	34, 30, 92, 94, 96	letrd 8195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) <_ B )
98		elicc2 10059	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( S - ( d / 2 ) ) /\ ( S - ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
99	35, 92, 98	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( S - ( d / 2 ) ) /\ ( S - ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
100	34, 91, 97, 99	mpbir3and 1182	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) )
101		fveq2 5575	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
102	101	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) e. RR ) )
103	102, 71, 100	rspcdva 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) e. RR )
104	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` S ) e. RR )
105		breq2 4047	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = S -> ( ( S - ( d / 2 ) ) < y <-> ( S - ( d / 2 ) ) < S ) )
106		fveq2 5575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = S -> ( F ` y ) = ( F ` S ) )
107	106	breq2d 4055	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = S -> ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) )
108	105, 107	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = S -> ( ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) < S -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) ) )
109		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( x < y <-> ( S - ( d / 2 ) ) < y ) )
110	101	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) )
111	109, 110	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) ) )
112	111	ralbidv 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) ) )
113		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
114	113	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
115	114	ralrimiva 2578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
116	115	ralrimiva 2578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
118	112, 117, 100	rspcdva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( S - ( d / 2 ) ) < y -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` y ) ) )
119	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. ( A [,] B ) )
120	108, 118, 119	rspcdva 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( S - ( d / 2 ) ) < S -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) ) )
121	93, 120	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) < ( F ` S ) )
122	103, 104, 121	ltled 8190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) <_ ( F ` S ) )
123	103, 104, 122	abssuble0d 11459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) = ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
124	34	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. CC )
125	30	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> S e. CC )
126	124, 125	abssubd 11475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) = ( abs ` ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
127	33	recnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. CC )
128	125, 127	nncand 8387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) = ( d / 2 ) )
129	128	fveq2d 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( S - ( S - ( d / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( d / 2 ) ) )
130	32	rpge0d 9821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> 0 <_ ( d / 2 ) )
131	33, 130	absidd 11449	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( d / 2 ) ) = ( d / 2 ) )
132	126, 129, 131	3eqtrd 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) = ( d / 2 ) )
133	132, 88	eqbrtrd 4065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d )
134		fvoveq1 5966	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( abs ` ( z - S ) ) = ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) )
135	134	breq1d 4053	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( z - S ) ) < d <-> ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d ) )
136	135	imbrov2fvoveq 5968	. . . . . . . 8 |- ( z = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) <-> ( ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) )
137		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
138	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ D )
139	138, 100	sseldd 3193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. D )
140	136, 137, 139	rspcdva 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( S - ( d / 2 ) ) - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
141	133, 140	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
142	123, 141	eqbrtrrd 4067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) )
143	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> U e. RR )
144	143, 103, 104	ltsub2d 8627	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` S ) - ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
146		fveq2 5575	. . . . . 6 |- ( w = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) )
147	146	breq2d 4055	. . . . 5 |- ( w = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( U < ( F ` w ) <-> U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
148	147, 6	elrab2 2931	. . . 4 |- ( ( S - ( d / 2 ) ) e. R <-> ( ( S - ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) /\ U < ( F ` ( S - ( d / 2 ) ) ) ) )
149	100, 145, 148	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> ( S - ( d / 2 ) ) e. R )
150		breq1 4046	. . . 4 |- ( q = ( S - ( d / 2 ) ) -> ( q < S <-> ( S - ( d / 2 ) ) < S ) )
151	150	rspcev 2876	. . 3 |- ( ( ( S - ( d / 2 ) ) e. R /\ ( S - ( d / 2 ) ) < S ) -> E. q e. R q < S )
152	149, 93, 151	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - S ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` S ) ) ) < ( ( F ` S ) - U ) ) ) ) -> E. q e. R q < S )
153	23, 152	rexlimddv 2627	1 |- ( ph -> E. q e. R q < S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   {crab 2487   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   + caddc 7927   RR*cxr 8105   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   / cdiv 8744   2c2 9086   RR+crp 9774   [,]cicc 10012   abscabs 11279   -cn->ccncf 15013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-rp 9775  df-icc 10016  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-cncf 15014

This theorem is referenced by:  ivthinclemur  15082