Theorem ge0xaddcl 9766

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xaddcl	|- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 9761	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )
2		elxrge0 9761	. 2 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
3		xaddcl 9643	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	3	ad2ant2r 500	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5		xaddge0 9661	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
6	5	an4s 577	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
7		elxrge0 9761	. . 3 |- ( ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( A +e B ) e. RR* /\ 0 <_ ( A +e B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 413	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 289	1 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   +oocpnf 7797   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   +ecxad 9557   [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-xadd 9560  df-icc 9678

This theorem is referenced by:  comet  12668  bdxmet  12670