Theorem ge0xaddcl 9940

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xaddcl	|- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 9935	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )
2		elxrge0 9935	. 2 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
3		xaddcl 9817	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	3	ad2ant2r 506	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5		xaddge0 9835	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
6	5	an4s 583	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
7		elxrge0 9935	. . 3 |- ( ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( A +e B ) e. RR* /\ 0 <_ ( A +e B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 415	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 289	1 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   0cc0 7774   +oocpnf 7951   RR*cxr 7953   <_ cle 7955   +ecxad 9727   [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-xadd 9730  df-icc 9852

This theorem is referenced by:  comet  13293  bdxmet  13295