ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0xaddcl Unicode version

Theorem ge0xaddcl 9721
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0xaddcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl
StepHypRef Expression
1 elxrge0 9716 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )
2 elxrge0 9716 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
3 xaddcl 9598 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
43ad2ant2r 500 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
5 xaddge0 9616 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A +e B ) )
65an4s 562 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A +e B ) )
7 elxrge0 9716 . . 3  |-  ( ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( A +e B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A +e
B ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 413 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91, 2, 8syl2anb 289 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   0cc0 7588   +oocpnf 7765   RR*cxr 7767    <_ cle 7769   +ecxad 9512   [,]cicc 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-xadd 9515  df-icc 9633
This theorem is referenced by:  comet  12579  bdxmet  12581
  Copyright terms: Public domain W3C validator