ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0xaddcl Unicode version

Theorem ge0xaddcl 10002
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0xaddcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl
StepHypRef Expression
1 elxrge0 9997 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )
2 elxrge0 9997 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
3 xaddcl 9879 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
43ad2ant2r 509 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
5 xaddge0 9897 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A +e B ) )
65an4s 588 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A +e B ) )
7 elxrge0 9997 . . 3  |-  ( ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( A +e B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A +e
B ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 417 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91, 2, 8syl2anb 291 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( A +e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7830   +oocpnf 8008   RR*cxr 8010    <_ cle 8012   +ecxad 9789   [,]cicc 9910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-xadd 9792  df-icc 9914
This theorem is referenced by:  comet  14402  bdxmet  14404
  Copyright terms: Public domain W3C validator