Theorem lensymd 8194

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lensymd.3	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lensymd	|- ( ph -> -. B < A )

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8190	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-xr 8111  df-le 8113

This theorem is referenced by:  lbinf  9021  suprzubdc  10379  zsupssdc  10381  addmodlteq  10543  iseqf1olemab  10647  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1olemqsum  10658  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  nn0ltexp2  10854  zfz1isolemiso  10984  seq3coll  10987  maxleim  11516  maxabslemval  11519  cvgratz  11843  divalglemnqt  12231  bezoutlemsup  12330  dfgcd2  12335  nninfctlemfo  12361  lcmgcdlem  12399  4sqlem11  12724  gsumfzval  13223  lgsval2lem  15487  trilpolemgt1  15978  trilpolemlt1  15980