ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lensymd Unicode version

Theorem lensymd 7884
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lensymd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lensymd  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
42, 3lenltd 7880 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
51, 4mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619    < clt 7800    <_ cle 7801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-xr 7804  df-le 7806
This theorem is referenced by:  lbinf  8706  addmodlteq  10171  iseqf1olemab  10262  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemqsum  10273  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  maxleim  10977  maxabslemval  10980  cvgratz  11301  divalglemnqt  11617  bezoutlemsup  11697  dfgcd2  11702  lcmgcdlem  11758  trilpolemgt1  13232  trilpolemlt1  13234
  Copyright terms: Public domain W3C validator