ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lensymd Unicode version

Theorem lensymd 7584
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lensymd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lensymd  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
42, 3lenltd 7580 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
51, 4mpbid 145 1  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   RRcr 7328    < clt 7501    <_ cle 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-xr 7505  df-le 7507
This theorem is referenced by:  lbinf  8381  addmodlteq  9770  iseqf1olemab  9883  seq3f1olemqsumk  9893  seq3f1olemqsum  9894  zfz1isolemiso  10208  iseqcoll  10211  maxleim  10602  maxabslemval  10605  divalglemnqt  11000  bezoutlemsup  11078  dfgcd2  11083  lcmgcdlem  11139
  Copyright terms: Public domain W3C validator