Theorem lensymd 8268

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lensymd.3	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lensymd	|- ( ph -> -. B < A )

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8264	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-xr 8185  df-le 8187

This theorem is referenced by:  lbinf  9095  suprzubdc  10456  zsupssdc  10458  addmodlteq  10620  iseqf1olemab  10724  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  nn0ltexp2  10931  zfz1isolemiso  11061  seq3coll  11064  maxleim  11716  maxabslemval  11719  cvgratz  12043  divalglemnqt  12431  bezoutlemsup  12530  dfgcd2  12535  nninfctlemfo  12561  lcmgcdlem  12599  4sqlem11  12924  gsumfzval  13424  lgsval2lem  15689  trilpolemgt1  16407  trilpolemlt1  16409