Theorem lensymd 8395

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lensymd.3	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lensymd	|- ( ph -> -. B < A )

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8391	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   < clt 8308   <_ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-xr 8312  df-le 8314

This theorem is referenced by:  lbinf  9222  suprzubdc  10596  zsupssdc  10598  addmodlteq  10760  iseqf1olemab  10864  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemqsum  10875  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  nn0ltexp2  11071  sshashneg  11205  zfz1isolemiso  11211  seq3coll  11214  ccatalpha  11301  maxleim  11890  maxabslemval  11893  cvgratz  12218  divalglemnqt  12606  bezoutlemsup  12705  dfgcd2  12710  nninfctlemfo  12736  lcmgcdlem  12774  4sqlem11  13099  gsumfzval  13604  lgsval2lem  15883  trilpolemgt1  16823  trilpolemlt1  16825