ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lensymd Unicode version

Theorem lensymd 7848
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lensymd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lensymd  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
42, 3lenltd 7844 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
51, 4mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583    < clt 7764    <_ cle 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-xr 7768  df-le 7770
This theorem is referenced by:  lbinf  8663  addmodlteq  10111  iseqf1olemab  10202  seq3f1olemqsumk  10212  seq3f1olemqsum  10213  zfz1isolemiso  10522  seq3coll  10525  maxleim  10917  maxabslemval  10920  cvgratz  11241  divalglemnqt  11513  bezoutlemsup  11593  dfgcd2  11598  lcmgcdlem  11654  trilpolemgt1  13043  trilpolemlt1  13045
  Copyright terms: Public domain W3C validator