ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbinf GIF version

Theorem lbinf 8663
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinf ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7808 . . 3 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 273 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 lbcl 8661 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
4 ssel 3059 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
54adantr 272 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
63, 5mpd 13 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
76adantr 272 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
8 ssel2 3060 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
98adantlr 466 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 lble 8662 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
11103expa 1164 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
127, 9, 11lensymd 7848 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → ¬ 𝑧 < (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
132, 6, 3, 12infminti 6880 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392  wss 3039   class class class wbr 3897  crio 5695  infcinf 6836  cr 7583   < clt 7764  cle 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-apti 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-riota 5696  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770
This theorem is referenced by:  lbinfcl  8664  lbinfle  8665
  Copyright terms: Public domain W3C validator