ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbreu GIF version

Theorem lbreu 8378
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3841 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
21rspcv 2718 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑥𝑤))
3 breq2 3841 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑦𝑤𝑥))
43rspcv 2718 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑤𝑦𝑤𝑥))
52, 4im2anan9r 566 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
6 ssel 3017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)))
98impcom 123 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
10 letri3 7545 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
1211exbiri 374 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → 𝑥 = 𝑤)))
1312com23 77 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
145, 13syld 44 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
1514com3r 78 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1615ralrimivv 2454 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤))
1716anim2i 334 . . 3 ((∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑆 ⊆ ℝ) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1817ancoms 264 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
19 breq1 3840 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
2019ralbidv 2380 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦))
2120reu4 2807 . 2 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
2218, 21sylibr 132 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  wss 2997   class class class wbr 3837  cr 7328  cle 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-apti 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507
This theorem is referenced by:  lbcl  8379  lble  8380
  Copyright terms: Public domain W3C validator