Theorem mulle0r 8931

Description: Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0r	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Proof of Theorem mulle0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8016	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
3		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
4	3	recnd 8016	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
5	2, 4	mulcomd 8009	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		0red 7988	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
7		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ 0 )
9	1, 6, 3, 7, 8	lemul2ad 8927	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ ( B x. 0 ) )
10	4	mul01d 8380	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
11	9, 10	breqtrd 4044	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ 0 )
12	5, 11	eqbrtrd 4040	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   RRcr 7840   0cc0 7841   x. cmul 7846   <_ cle 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10429  sqrt2irrap  12212