Theorem mulle0r 8377

Description: Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0r	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Proof of Theorem mulle0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 7495	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
3		simplr 497	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
4	3	recnd 7495	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
5	2, 4	mulcomd 7488	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		0red 7468	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
7		simprr 499	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
8		simprl 498	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ 0 )
9	1, 6, 3, 7, 8	lemul2ad 8373	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ ( B x. 0 ) )
10	4	mul01d 7850	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
11	9, 10	breqtrd 3861	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ 0 )
12	5, 11	eqbrtrd 3857	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   x. cmul 7334   <_ cle 7502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035

This theorem is referenced by:  addmodlteq  9770  sqrt2irrap  11251