Theorem mulle0r 9079

Description: Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0r	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Proof of Theorem mulle0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8163	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
3		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
4	3	recnd 8163	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
5	2, 4	mulcomd 8156	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		0red 8135	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
7		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ 0 )
9	1, 6, 3, 7, 8	lemul2ad 9075	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ ( B x. 0 ) )
10	4	mul01d 8527	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
11	9, 10	breqtrd 4108	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ 0 )
12	5, 11	eqbrtrd 4104	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   x. cmul 7992   <_ cle 8170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10607  sqrt2irrap  12688