Theorem mulle0r 9235

Description: Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0r	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Proof of Theorem mulle0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8318	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
3		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
4	3	recnd 8318	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
5	2, 4	mulcomd 8311	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		0red 8291	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
7		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
8		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ 0 )
9	1, 6, 3, 7, 8	lemul2ad 9231	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ ( B x. 0 ) )
10	4	mul01d 8683	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
11	9, 10	breqtrd 4140	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ 0 )
12	5, 11	eqbrtrd 4136	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10784  sqrt2irrap  12902