Theorem mulle0r 9239

Description: Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0r	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Proof of Theorem mulle0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8319	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
3		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
4	3	recnd 8319	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
5	2, 4	mulcomd 8312	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		0red 8292	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
7		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
8		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ 0 )
9	1, 6, 3, 7, 8	lemul2ad 9235	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ ( B x. 0 ) )
10	4	mul01d 8685	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
11	9, 10	breqtrd 4141	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. A ) <_ 0 )
12	5, 11	eqbrtrd 4137	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ 0 /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   RRcr 8143   0cc0 8144   x. cmul 8149   <_ cle 8326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10788  sqrt2irrap  12907