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Theorem flqdiv 10320
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intqfrac2 10318 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
98zcnd 9375 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 zq 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
118, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  QQ )
12 qsubcl 9637 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
13 qcn 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1511, 14syldan 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
16 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1716nncnd 8932 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
1816nnap0d 8964 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N #  0 )
199, 15, 17, 18divdirapd 8785 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flqcl 10272 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
28 znq 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
2928flqcld 10276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3021, 29sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 9375 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
328, 16, 28syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
33 zq 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  QQ )
3430, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  QQ )
35 qsubcl 9637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
3632, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
37 qcn 9633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3911, 12syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
40 nnq 9632 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
4140adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
4216nnne0d 8963 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
43 qdivcl 9642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
4439, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
45 qcn 9633 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4644, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4731, 38, 46addassd 7979 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4820, 27, 473eqtrd 2214 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4948fveq2d 5519 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
50 qre 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
5136, 50syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
52 qre 9624 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5339, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5453, 16nndivred 8968 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
5524simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5621, 55sylan 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5716nnrpd 9693 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
58 qfracge0 10280 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
5958adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
6053, 57, 59divge0d 9736 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
6151, 54, 56, 60addge0d 8478 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
62 nnre 8925 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 peano2rem 8223 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
65 nnap0 8947 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
6664, 62, 65redivclapd 8791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
6766adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6816nnrecred 8965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6924simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
7021, 69sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
71 qfraclt1 10279 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7316nnred 8931 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
7416nngt0d 8962 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 1re 7955 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
76 ltdiv1 8824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7775, 76mp3an2 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7853, 73, 74, 77syl12anc 1236 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7972, 78mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8522 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
81 nncn 8926 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
82 npcan1 8334 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8381, 82syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8483oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
8564recnd 7985 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
86 ax-1cn 7903 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
87 divdirap 8653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
8886, 87mp3an2 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) ) )
8985, 81, 65, 88syl12anc 1236 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
9081, 65dividapd 8742 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
9184, 89, 903eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9291adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9380, 92breqtrd 4029 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
9432flqcld 10276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
95 qaddcl 9634 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
9636, 44, 95syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
97 flqbi2 10290 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9961, 93, 98mpbir2and 944 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
10049, 99eqtr2d 2211 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127   # cap 8537    / cdiv 8628   NNcn 8918   ZZcz 9252   QQcq 9618   |_cfl 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10341
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