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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > flqdiv | Unicode version |
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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flqdiv |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2177 |
. . . . . . . . 9
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2 | eqid 2177 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | intqfrac2 10292 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | simp3d 1011 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . 6
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6 | 5 | oveq1d 5883 |
. . . . 5
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7 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | flqcld 10250 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | zcnd 9352 |
. . . . . 6
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10 | zq 9602 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 10 | syl 14 |
. . . . . . 7
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12 | qsubcl 9614 |
. . . . . . . 8
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13 | qcn 9610 |
. . . . . . . 8
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . 7
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15 | 11, 14 | syldan 282 |
. . . . . 6
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16 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | nncnd 8909 |
. . . . . 6
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18 | 16 | nnap0d 8941 |
. . . . . 6
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19 | 9, 15, 17, 18 | divdirapd 8762 |
. . . . 5
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20 | 6, 19 | eqtrd 2210 |
. . . 4
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21 | flqcl 10246 |
. . . . . 6
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22 | eqid 2177 |
. . . . . . . 8
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23 | eqid 2177 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | intfracq 10293 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | simp3d 1011 |
. . . . . 6
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26 | 21, 25 | sylan 283 |
. . . . 5
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27 | 26 | oveq1d 5883 |
. . . 4
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28 | znq 9600 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | flqcld 10250 |
. . . . . . 7
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30 | 21, 29 | sylan 283 |
. . . . . 6
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31 | 30 | zcnd 9352 |
. . . . 5
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32 | 8, 16, 28 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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33 | zq 9602 |
. . . . . . . 8
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34 | 30, 33 | syl 14 |
. . . . . . 7
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35 | qsubcl 9614 |
. . . . . . 7
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36 | 32, 34, 35 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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37 | qcn 9610 |
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38 | 36, 37 | syl 14 |
. . . . 5
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39 | 11, 12 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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40 | nnq 9609 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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42 | 16 | nnne0d 8940 |
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43 | qdivcl 9619 |
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44 | 39, 41, 42, 43 | syl3anc 1238 |
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45 | qcn 9610 |
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46 | 44, 45 | syl 14 |
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47 | 31, 38, 46 | addassd 7957 |
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48 | 20, 27, 47 | 3eqtrd 2214 |
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49 | 48 | fveq2d 5514 |
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51 | 36, 50 | syl 14 |
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52 | qre 9601 |
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53 | 39, 52 | syl 14 |
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54 | 53, 16 | nndivred 8945 |
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55 | 24 | simp1d 1009 |
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57 | 16 | nnrpd 9668 |
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58 | qfracge0 10254 |
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60 | 53, 57, 59 | divge0d 9711 |
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61 | 51, 54, 56, 60 | addge0d 8456 |
. . 3
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62 | nnre 8902 |
. . . . . . . 8
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63 | peano2rem 8201 |
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65 | nnap0 8924 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 62, 65 | redivclapd 8768 |
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69 | 24 | simp2d 1010 |
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71 | qfraclt1 10253 |
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73 | 16 | nnred 8908 |
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75 | 1re 7934 |
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76 | ltdiv1 8801 |
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77 | 75, 76 | mp3an2 1325 |
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78 | 53, 73, 74, 77 | syl12anc 1236 |
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79 | 72, 78 | mpbid 147 |
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80 | 51, 54, 67, 68, 70, 79 | leltaddd 8500 |
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81 | nncn 8903 |
. . . . . . . 8
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82 | npcan1 8312 |
. . . . . . . 8
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83 | 81, 82 | syl 14 |
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84 | 83 | oveq1d 5883 |
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85 | 64 | recnd 7963 |
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86 | ax-1cn 7882 |
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87 | divdirap 8630 |
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88 | 86, 87 | mp3an2 1325 |
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89 | 85, 81, 65, 88 | syl12anc 1236 |
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90 | 81, 65 | dividapd 8719 |
. . . . . 6
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91 | 84, 89, 90 | 3eqtr3d 2218 |
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92 | 91 | adantl 277 |
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93 | 80, 92 | breqtrd 4026 |
. . 3
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94 | 32 | flqcld 10250 |
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95 | qaddcl 9611 |
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96 | 36, 44, 95 | syl2anc 411 |
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97 | flqbi2 10264 |
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98 | 94, 96, 97 | syl2anc 411 |
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99 | 61, 93, 98 | mpbir2and 944 |
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100 | 49, 99 | eqtr2d 2211 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 ax-pre-mulext 7907 ax-arch 7908 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-reap 8509 df-ap 8516 df-div 8606 df-inn 8896 df-n0 9153 df-z 9230 df-q 9596 df-rp 9628 df-fl 10243 |
This theorem is referenced by: modqmulnn 10315 |
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