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Theorem flqdiv 10351
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intqfrac2 10349 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1013 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5910 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
98zcnd 9405 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 zq 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
118, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  QQ )
12 qsubcl 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
13 qcn 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1511, 14syldan 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
16 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1716nncnd 8962 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
1816nnap0d 8994 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N #  0 )
199, 15, 17, 18divdirapd 8815 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flqcl 10303 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2189 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5910 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
28 znq 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
2928flqcld 10307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3021, 29sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 9405 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
328, 16, 28syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
33 zq 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  QQ )
3430, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  QQ )
35 qsubcl 9667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
3632, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
37 qcn 9663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3911, 12syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
40 nnq 9662 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
4140adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
4216nnne0d 8993 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
43 qdivcl 9672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
4439, 41, 42, 43syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
45 qcn 9663 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4644, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4731, 38, 46addassd 8009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4820, 27, 473eqtrd 2226 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4948fveq2d 5538 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
50 qre 9654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
5136, 50syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
52 qre 9654 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5339, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5453, 16nndivred 8998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
5524simp1d 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5621, 55sylan 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5716nnrpd 9723 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
58 qfracge0 10311 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
5958adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
6053, 57, 59divge0d 9766 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
6151, 54, 56, 60addge0d 8508 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
62 nnre 8955 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 peano2rem 8253 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
65 nnap0 8977 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
6664, 62, 65redivclapd 8821 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
6766adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6816nnrecred 8995 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6924simp2d 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
7021, 69sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
71 qfraclt1 10310 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7316nnred 8961 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
7416nngt0d 8992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 1re 7985 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
76 ltdiv1 8854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7775, 76mp3an2 1336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7853, 73, 74, 77syl12anc 1247 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7972, 78mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8552 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
81 nncn 8956 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
82 npcan1 8364 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8381, 82syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8483oveq1d 5910 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
8564recnd 8015 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
86 ax-1cn 7933 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
87 divdirap 8683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
8886, 87mp3an2 1336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) ) )
8985, 81, 65, 88syl12anc 1247 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
9081, 65dividapd 8772 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
9184, 89, 903eqtr3d 2230 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9291adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9380, 92breqtrd 4044 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
9432flqcld 10307 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
95 qaddcl 9664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
9636, 44, 95syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
97 flqbi2 10321 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9961, 93, 98mpbir2and 946 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
10049, 99eqtr2d 2223 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   RRcr 7839   0cc0 7840   1c1 7841    + caddc 7843    < clt 8021    <_ cle 8022    - cmin 8157   # cap 8567    / cdiv 8658   NNcn 8948   ZZcz 9282   QQcq 9648   |_cfl 10298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683  df-fl 10300
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10372
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