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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > flqdiv | Unicode version |
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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flqdiv |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2189 |
. . . . . . . . 9
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2 | eqid 2189 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | intqfrac2 10349 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | simp3d 1013 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . 6
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6 | 5 | oveq1d 5910 |
. . . . 5
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7 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | flqcld 10307 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | zcnd 9405 |
. . . . . 6
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10 | zq 9655 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 10 | syl 14 |
. . . . . . 7
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12 | qsubcl 9667 |
. . . . . . . 8
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13 | qcn 9663 |
. . . . . . . 8
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . 7
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15 | 11, 14 | syldan 282 |
. . . . . 6
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16 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | nncnd 8962 |
. . . . . 6
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18 | 16 | nnap0d 8994 |
. . . . . 6
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19 | 9, 15, 17, 18 | divdirapd 8815 |
. . . . 5
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20 | 6, 19 | eqtrd 2222 |
. . . 4
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21 | flqcl 10303 |
. . . . . 6
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22 | eqid 2189 |
. . . . . . . 8
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23 | eqid 2189 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | intfracq 10350 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | simp3d 1013 |
. . . . . 6
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26 | 21, 25 | sylan 283 |
. . . . 5
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27 | 26 | oveq1d 5910 |
. . . 4
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28 | znq 9653 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | flqcld 10307 |
. . . . . . 7
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30 | 21, 29 | sylan 283 |
. . . . . 6
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31 | 30 | zcnd 9405 |
. . . . 5
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32 | 8, 16, 28 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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33 | zq 9655 |
. . . . . . . 8
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34 | 30, 33 | syl 14 |
. . . . . . 7
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35 | qsubcl 9667 |
. . . . . . 7
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36 | 32, 34, 35 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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37 | qcn 9663 |
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38 | 36, 37 | syl 14 |
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39 | 11, 12 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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40 | nnq 9662 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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42 | 16 | nnne0d 8993 |
. . . . . . 7
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43 | qdivcl 9672 |
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44 | 39, 41, 42, 43 | syl3anc 1249 |
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45 | qcn 9663 |
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46 | 44, 45 | syl 14 |
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47 | 31, 38, 46 | addassd 8009 |
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48 | 20, 27, 47 | 3eqtrd 2226 |
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49 | 48 | fveq2d 5538 |
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51 | 36, 50 | syl 14 |
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52 | qre 9654 |
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53 | 39, 52 | syl 14 |
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54 | 53, 16 | nndivred 8998 |
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55 | 24 | simp1d 1011 |
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56 | 21, 55 | sylan 283 |
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57 | 16 | nnrpd 9723 |
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58 | qfracge0 10311 |
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60 | 53, 57, 59 | divge0d 9766 |
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61 | 51, 54, 56, 60 | addge0d 8508 |
. . 3
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62 | nnre 8955 |
. . . . . . . 8
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63 | peano2rem 8253 |
. . . . . . . 8
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65 | nnap0 8977 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 62, 65 | redivclapd 8821 |
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69 | 24 | simp2d 1012 |
. . . . . 6
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70 | 21, 69 | sylan 283 |
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71 | qfraclt1 10310 |
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73 | 16 | nnred 8961 |
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74 | 16 | nngt0d 8992 |
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75 | 1re 7985 |
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76 | ltdiv1 8854 |
. . . . . . . 8
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77 | 75, 76 | mp3an2 1336 |
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78 | 53, 73, 74, 77 | syl12anc 1247 |
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79 | 72, 78 | mpbid 147 |
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80 | 51, 54, 67, 68, 70, 79 | leltaddd 8552 |
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81 | nncn 8956 |
. . . . . . . 8
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82 | npcan1 8364 |
. . . . . . . 8
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83 | 81, 82 | syl 14 |
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84 | 83 | oveq1d 5910 |
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85 | 64 | recnd 8015 |
. . . . . . 7
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86 | ax-1cn 7933 |
. . . . . . . 8
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87 | divdirap 8683 |
. . . . . . . 8
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88 | 86, 87 | mp3an2 1336 |
. . . . . . 7
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89 | 85, 81, 65, 88 | syl12anc 1247 |
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90 | 81, 65 | dividapd 8772 |
. . . . . 6
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91 | 84, 89, 90 | 3eqtr3d 2230 |
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92 | 91 | adantl 277 |
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93 | 80, 92 | breqtrd 4044 |
. . 3
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94 | 32 | flqcld 10307 |
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95 | qaddcl 9664 |
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96 | 36, 44, 95 | syl2anc 411 |
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97 | flqbi2 10321 |
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98 | 94, 96, 97 | syl2anc 411 |
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99 | 61, 93, 98 | mpbir2and 946 |
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100 | 49, 99 | eqtr2d 2223 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-n0 9206 df-z 9283 df-q 9649 df-rp 9683 df-fl 10300 |
This theorem is referenced by: modqmulnn 10372 |
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