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Theorem flqdiv 10335
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2187 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intqfrac2 10333 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1012 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10291 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
98zcnd 9390 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 zq 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
118, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  QQ )
12 qsubcl 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
13 qcn 9648 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1511, 14syldan 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
16 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1716nncnd 8947 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
1816nnap0d 8979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N #  0 )
199, 15, 17, 18divdirapd 8800 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flqcl 10287 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5903 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
28 znq 9638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
2928flqcld 10291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3021, 29sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 9390 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
328, 16, 28syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
33 zq 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  QQ )
3430, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  QQ )
35 qsubcl 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
3632, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
37 qcn 9648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3911, 12syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
40 nnq 9647 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
4140adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
4216nnne0d 8978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
43 qdivcl 9657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
4439, 41, 42, 43syl3anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
45 qcn 9648 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4644, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4731, 38, 46addassd 7994 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4820, 27, 473eqtrd 2224 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4948fveq2d 5531 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
50 qre 9639 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
5136, 50syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
52 qre 9639 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5339, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5453, 16nndivred 8983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
5524simp1d 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5621, 55sylan 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5716nnrpd 9708 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
58 qfracge0 10295 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
5958adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
6053, 57, 59divge0d 9751 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
6151, 54, 56, 60addge0d 8493 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
62 nnre 8940 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 peano2rem 8238 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
65 nnap0 8962 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
6664, 62, 65redivclapd 8806 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
6766adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6816nnrecred 8980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6924simp2d 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
7021, 69sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
71 qfraclt1 10294 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7316nnred 8946 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
7416nngt0d 8977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 1re 7970 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
76 ltdiv1 8839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7775, 76mp3an2 1335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7853, 73, 74, 77syl12anc 1246 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7972, 78mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8537 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
81 nncn 8941 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
82 npcan1 8349 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8381, 82syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8483oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
8564recnd 8000 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
86 ax-1cn 7918 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
87 divdirap 8668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
8886, 87mp3an2 1335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) ) )
8985, 81, 65, 88syl12anc 1246 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
9081, 65dividapd 8757 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
9184, 89, 903eqtr3d 2228 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9291adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9380, 92breqtrd 4041 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
9432flqcld 10291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
95 qaddcl 9649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
9636, 44, 95syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
97 flqbi2 10305 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9961, 93, 98mpbir2and 945 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
10049, 99eqtr2d 2221 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826    + caddc 7828    < clt 8006    <_ cle 8007    - cmin 8142   # cap 8552    / cdiv 8643   NNcn 8933   ZZcz 9267   QQcq 9633   |_cfl 10282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10356
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