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Theorem flqdiv 10324
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intqfrac2 10322 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5893 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10280 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
98zcnd 9379 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 zq 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
118, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  QQ )
12 qsubcl 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
13 qcn 9637 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1511, 14syldan 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
16 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1716nncnd 8936 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
1816nnap0d 8968 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N #  0 )
199, 15, 17, 18divdirapd 8789 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flqcl 10276 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5893 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
28 znq 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
2928flqcld 10280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3021, 29sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 9379 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
328, 16, 28syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ )
33 zq 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  QQ )
3430, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  QQ )
35 qsubcl 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
3632, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ )
37 qcn 9637 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3911, 12syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
40 nnq 9636 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
4140adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
4216nnne0d 8967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
43 qdivcl 9646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
4439, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )
45 qcn 9637 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4644, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4731, 38, 46addassd 7983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4820, 27, 473eqtrd 2214 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4948fveq2d 5521 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
50 qre 9628 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  ->  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
5136, 50syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
52 qre 9628 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5339, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
5453, 16nndivred 8972 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
5524simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5621, 55sylan 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
5716nnrpd 9697 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
58 qfracge0 10284 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
5958adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
6053, 57, 59divge0d 9740 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
6151, 54, 56, 60addge0d 8482 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
62 nnre 8929 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 peano2rem 8227 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
65 nnap0 8951 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
6664, 62, 65redivclapd 8795 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
6766adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6816nnrecred 8969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6924simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
7021, 69sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
71 qfraclt1 10283 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
7316nnred 8935 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
7416nngt0d 8966 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 1re 7959 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
76 ltdiv1 8828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7775, 76mp3an2 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7853, 73, 74, 77syl12anc 1236 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
7972, 78mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8526 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
81 nncn 8930 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
82 npcan1 8338 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8381, 82syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
8483oveq1d 5893 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
8564recnd 7989 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
86 ax-1cn 7907 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
87 divdirap 8657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
8886, 87mp3an2 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N #  0 ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) ) )
8985, 81, 65, 88syl12anc 1236 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
9081, 65dividapd 8746 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
9184, 89, 903eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9291adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
9380, 92breqtrd 4031 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
9432flqcld 10280 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
95 qaddcl 9638 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  QQ  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  QQ )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
9636, 44, 95syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )
97 flqbi2 10294 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  QQ )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
9961, 93, 98mpbir2and 944 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
10049, 99eqtr2d 2211 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815    + caddc 7817    < clt 7995    <_ cle 7996    - cmin 8131   # cap 8541    / cdiv 8632   NNcn 8922   ZZcz 9256   QQcq 9622   |_cfl 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623  df-rp 9657  df-fl 10273
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10345
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