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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > flqdiv | Unicode version |
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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flqdiv |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2187 |
. . . . . . . . 9
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2 | eqid 2187 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | intqfrac2 10333 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | simp3d 1012 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . 6
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6 | 5 | oveq1d 5903 |
. . . . 5
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7 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | flqcld 10291 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | zcnd 9390 |
. . . . . 6
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10 | zq 9640 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 10 | syl 14 |
. . . . . . 7
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12 | qsubcl 9652 |
. . . . . . . 8
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13 | qcn 9648 |
. . . . . . . 8
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . 7
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15 | 11, 14 | syldan 282 |
. . . . . 6
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16 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | nncnd 8947 |
. . . . . 6
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18 | 16 | nnap0d 8979 |
. . . . . 6
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19 | 9, 15, 17, 18 | divdirapd 8800 |
. . . . 5
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20 | 6, 19 | eqtrd 2220 |
. . . 4
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21 | flqcl 10287 |
. . . . . 6
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22 | eqid 2187 |
. . . . . . . 8
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23 | eqid 2187 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | intfracq 10334 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | simp3d 1012 |
. . . . . 6
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26 | 21, 25 | sylan 283 |
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27 | 26 | oveq1d 5903 |
. . . 4
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28 | znq 9638 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | flqcld 10291 |
. . . . . . 7
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30 | 21, 29 | sylan 283 |
. . . . . 6
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31 | 30 | zcnd 9390 |
. . . . 5
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32 | 8, 16, 28 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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33 | zq 9640 |
. . . . . . . 8
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34 | 30, 33 | syl 14 |
. . . . . . 7
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35 | qsubcl 9652 |
. . . . . . 7
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36 | 32, 34, 35 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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37 | qcn 9648 |
. . . . . 6
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38 | 36, 37 | syl 14 |
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39 | 11, 12 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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40 | nnq 9647 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | adantl 277 |
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42 | 16 | nnne0d 8978 |
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43 | qdivcl 9657 |
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44 | 39, 41, 42, 43 | syl3anc 1248 |
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45 | qcn 9648 |
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46 | 44, 45 | syl 14 |
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47 | 31, 38, 46 | addassd 7994 |
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48 | 20, 27, 47 | 3eqtrd 2224 |
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49 | 48 | fveq2d 5531 |
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50 | qre 9639 |
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51 | 36, 50 | syl 14 |
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52 | qre 9639 |
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53 | 39, 52 | syl 14 |
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54 | 53, 16 | nndivred 8983 |
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55 | 24 | simp1d 1010 |
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57 | 16 | nnrpd 9708 |
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58 | qfracge0 10295 |
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60 | 53, 57, 59 | divge0d 9751 |
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61 | 51, 54, 56, 60 | addge0d 8493 |
. . 3
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62 | nnre 8940 |
. . . . . . . 8
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63 | peano2rem 8238 |
. . . . . . . 8
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65 | nnap0 8962 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 62, 65 | redivclapd 8806 |
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69 | 24 | simp2d 1011 |
. . . . . 6
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70 | 21, 69 | sylan 283 |
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71 | qfraclt1 10294 |
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. . . . . 6
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73 | 16 | nnred 8946 |
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74 | 16 | nngt0d 8977 |
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75 | 1re 7970 |
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76 | ltdiv1 8839 |
. . . . . . . 8
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77 | 75, 76 | mp3an2 1335 |
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78 | 53, 73, 74, 77 | syl12anc 1246 |
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79 | 72, 78 | mpbid 147 |
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80 | 51, 54, 67, 68, 70, 79 | leltaddd 8537 |
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81 | nncn 8941 |
. . . . . . . 8
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82 | npcan1 8349 |
. . . . . . . 8
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83 | 81, 82 | syl 14 |
. . . . . . 7
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84 | 83 | oveq1d 5903 |
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85 | 64 | recnd 8000 |
. . . . . . 7
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86 | ax-1cn 7918 |
. . . . . . . 8
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87 | divdirap 8668 |
. . . . . . . 8
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88 | 86, 87 | mp3an2 1335 |
. . . . . . 7
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89 | 85, 81, 65, 88 | syl12anc 1246 |
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90 | 81, 65 | dividapd 8757 |
. . . . . 6
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91 | 84, 89, 90 | 3eqtr3d 2228 |
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92 | 91 | adantl 277 |
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93 | 80, 92 | breqtrd 4041 |
. . 3
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94 | 32 | flqcld 10291 |
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95 | qaddcl 9649 |
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96 | 36, 44, 95 | syl2anc 411 |
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97 | flqbi2 10305 |
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98 | 94, 96, 97 | syl2anc 411 |
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99 | 61, 93, 98 | mpbir2and 945 |
. 2
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100 | 49, 99 | eqtr2d 2221 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-n0 9191 df-z 9268 df-q 9634 df-rp 9668 df-fl 10284 |
This theorem is referenced by: modqmulnn 10356 |
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