Theorem flqdiv 10307

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	|- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` A ) = ( |_ ` A )
2		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( |_ ` A ) ) = ( A - ( |_ ` A ) )
3	1, 2	intqfrac2 10305	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) /\ ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 /\ A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) ) )
4	3	simp3d 1011	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
6	5	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) )
7		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 10263	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	zcnd 9365	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
10		zq 9615	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
12		qsubcl 9627	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
13		qcn 9623	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
15	11, 14	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
17	16	nncnd 8922	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
18	16	nnap0d 8954	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 8775	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
20	6, 19	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
21		flqcl 10259	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
22		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) )
23		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
24	22, 23	intfracq 10306	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) ) )
25	24	simp3d 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
26	21, 25	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
27	26	oveq1d 5884	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
28		znq 9613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
29	28	flqcld 10263	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
30	21, 29	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
31	30	zcnd 9365	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. CC )
32	8, 16, 28	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
33		zq 9615	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
35		qsubcl 9627	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ /\ ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
37		qcn 9623	. . . . . 6 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
39	11, 12	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
40		nnq 9622	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
41	40	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. QQ )
42	16	nnne0d 8953	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
43		qdivcl 9632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
45		qcn 9623	. . . . . 6 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
47	31, 38, 46	addassd 7970	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
48	20, 27, 47	3eqtrd 2214	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
49	48	fveq2d 5515	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( A / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) )
50		qre 9614	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
51	36, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
52		qre 9614	. . . . . 6 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
54	53, 16	nndivred 8958	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR )
55	24	simp1d 1009	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
56	21, 55	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
57	16	nnrpd 9681	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR+ )
58		qfracge0 10267	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
60	53, 57, 59	divge0d 9724	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
61	51, 54, 56, 60	addge0d 8469	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
62		nnre 8915	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
63		peano2rem 8214	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
65		nnap0 8937	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N # 0 )
66	64, 62, 65	redivclapd 8781	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
67	66	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
68	16	nnrecred 8955	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( 1 / N ) e. RR )
69	24	simp2d 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
70	21, 69	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
71		qfraclt1 10266	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
73	16	nnred 8921	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
74	16	nngt0d 8952	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		1re 7947	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
76		ltdiv1 8814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
77	75, 76	mp3an2 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1236	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
79	72, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) )
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 8513	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
81		nncn 8916	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
82		npcan1 8325	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
84	83	oveq1d 5884	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( N / N ) )
85	64	recnd 7976	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
86		ax-1cn 7895	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
87		divdirap 8643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
88	86, 87	mp3an2 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1236	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
90	81, 65	dividapd 8732	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
92	91	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
93	80, 92	breqtrd 4026	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 )
94	32	flqcld 10263	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
95		qaddcl 9624	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
96	36, 44, 95	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
97		flqbi2 10277	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
99	61, 93, 98	mpbir2and 944	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
100	49, 99	eqtr2d 2211	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   ZZcz 9242   QQcq 9608   |_cfl 10254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10328