Theorem flqdiv 9693

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	|- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2088	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` A ) = ( |_ ` A )
2		eqid 2088	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( |_ ` A ) ) = ( A - ( |_ ` A ) )
3	1, 2	intqfrac2 9691	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) /\ ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 /\ A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) ) )
4	3	simp3d 957	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
5	4	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
6	5	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) )
7		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 9649	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	zcnd 8839	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
10		zq 9080	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
12		qsubcl 9092	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
13		qcn 9088	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
15	11, 14	syldan 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
16		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
17	16	nncnd 8408	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
18	16	nnap0d 8439	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 8268	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
20	6, 19	eqtrd 2120	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
21		flqcl 9645	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
22		eqid 2088	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) )
23		eqid 2088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
24	22, 23	intfracq 9692	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) ) )
25	24	simp3d 957	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
26	21, 25	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
27	26	oveq1d 5649	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
28		znq 9078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
29	28	flqcld 9649	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
30	21, 29	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
31	30	zcnd 8839	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. CC )
32	8, 16, 28	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
33		zq 9080	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
35		qsubcl 9092	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ /\ ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
36	32, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
37		qcn 9088	. . . . . 6 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
39	11, 12	syldan 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
40		nnq 9087	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
41	40	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. QQ )
42	16	nnne0d 8438	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
43		qdivcl 9097	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1174	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
45		qcn 9088	. . . . . 6 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
47	31, 38, 46	addassd 7489	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
48	20, 27, 47	3eqtrd 2124	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
49	48	fveq2d 5293	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( A / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) )
50		qre 9079	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
51	36, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
52		qre 9079	. . . . . 6 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
54	53, 16	nndivred 8443	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR )
55	24	simp1d 955	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
56	21, 55	sylan 277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
57	16	nnrpd 9141	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR+ )
58		qfracge0 9653	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
59	58	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
60	53, 57, 59	divge0d 9183	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
61	51, 54, 56, 60	addge0d 7975	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
62		nnre 8401	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
63		peano2rem 7728	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
65		nnap0 8423	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N # 0 )
66	64, 62, 65	redivclapd 8273	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
67	66	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
68	16	nnrecred 8440	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( 1 / N ) e. RR )
69	24	simp2d 956	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
70	21, 69	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
71		qfraclt1 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
72	71	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
73	16	nnred 8407	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
74	16	nngt0d 8437	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		1re 7466	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
76		ltdiv1 8301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
77	75, 76	mp3an2 1261	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1172	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
79	72, 78	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) )
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 8019	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
81		nncn 8402	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
82		npcan1 7835	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
84	83	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( N / N ) )
85	64	recnd 7495	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
86		ax-1cn 7417	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
87		divdirap 8138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
88	86, 87	mp3an2 1261	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1172	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
90	81, 65	dividapd 8227	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2128	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
92	91	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
93	80, 92	breqtrd 3861	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 )
94	32	flqcld 9649	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
95		qaddcl 9089	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
96	36, 44, 95	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
97		flqbi2 9663	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
99	61, 93, 98	mpbir2and 890	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
100	49, 99	eqtr2d 2121	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501   <_ cle 7502   - cmin 7632   # cap 8034   / cdiv 8113   NNcn 8394   ZZcz 8720   QQcq 9073   |_cfl 9640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642

This theorem is referenced by:  modqmulnn  9714