Theorem flqdiv 10413

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	|- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` A ) = ( |_ ` A )
2		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( |_ ` A ) ) = ( A - ( |_ ` A ) )
3	1, 2	intqfrac2 10411	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) /\ ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 /\ A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) ) )
4	3	simp3d 1013	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
6	5	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) )
7		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 10367	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	zcnd 9449	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
10		zq 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
12		qsubcl 9712	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
13		qcn 9708	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
15	11, 14	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
17	16	nncnd 9004	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
18	16	nnap0d 9036	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 8856	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
20	6, 19	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
21		flqcl 10363	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
22		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) )
23		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
24	22, 23	intfracq 10412	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) ) )
25	24	simp3d 1013	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
26	21, 25	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
27	26	oveq1d 5937	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
28		znq 9698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
29	28	flqcld 10367	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
30	21, 29	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
31	30	zcnd 9449	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. CC )
32	8, 16, 28	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
33		zq 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
35		qsubcl 9712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ /\ ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
37		qcn 9708	. . . . . 6 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
39	11, 12	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
40		nnq 9707	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
41	40	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. QQ )
42	16	nnne0d 9035	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
43		qdivcl 9717	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
45		qcn 9708	. . . . . 6 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
47	31, 38, 46	addassd 8049	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
48	20, 27, 47	3eqtrd 2233	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
49	48	fveq2d 5562	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( A / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) )
50		qre 9699	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
51	36, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
52		qre 9699	. . . . . 6 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
54	53, 16	nndivred 9040	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR )
55	24	simp1d 1011	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
56	21, 55	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
57	16	nnrpd 9769	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR+ )
58		qfracge0 10371	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
60	53, 57, 59	divge0d 9812	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
61	51, 54, 56, 60	addge0d 8549	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
62		nnre 8997	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
63		peano2rem 8293	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
65		nnap0 9019	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N # 0 )
66	64, 62, 65	redivclapd 8862	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
67	66	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
68	16	nnrecred 9037	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( 1 / N ) e. RR )
69	24	simp2d 1012	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
70	21, 69	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
71		qfraclt1 10370	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
73	16	nnred 9003	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
74	16	nngt0d 9034	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		1re 8025	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
76		ltdiv1 8895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
77	75, 76	mp3an2 1336	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
79	72, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) )
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 8593	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
81		nncn 8998	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
82		npcan1 8404	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
84	83	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( N / N ) )
85	64	recnd 8055	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
86		ax-1cn 7972	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
87		divdirap 8724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
88	86, 87	mp3an2 1336	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
90	81, 65	dividapd 8813	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
92	91	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
93	80, 92	breqtrd 4059	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 )
94	32	flqcld 10367	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
95		qaddcl 9709	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
96	36, 44, 95	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
97		flqbi2 10381	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
99	61, 93, 98	mpbir2and 946	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
100	49, 99	eqtr2d 2230	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   ZZcz 9326   QQcq 9693   |_cfl 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10434  bitsp1  12115