ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leltaddd GIF version

Theorem leltaddd 7961
Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
leltaddd.5 (𝜑𝐴𝐶)
leltaddd.6 (𝜑𝐵 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
leltaddd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem leltaddd
StepHypRef Expression
1 leltaddd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 leltaddd.6 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 leltadd 7846 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1173 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 424 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cr 7270   + caddc 7274   < clt 7443  cle 7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-iota 4937  df-fv 4980  df-ov 5597  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449
This theorem is referenced by:  flqdiv  9631
  Copyright terms: Public domain W3C validator