ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leltaddd GIF version

Theorem leltaddd 8558
Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
leltaddd.5 (𝜑𝐴𝐶)
leltaddd.6 (𝜑𝐵 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
leltaddd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem leltaddd
StepHypRef Expression
1 leltaddd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 leltaddd.6 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 leltadd 8439 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1250 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 433 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  cr 7845   + caddc 7849   < clt 8027  cle 8028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-xp 4653  df-cnv 4655  df-iota 5199  df-fv 5246  df-ov 5903  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033
This theorem is referenced by:  flqdiv  10358  trilpolemeq1  15276
  Copyright terms: Public domain W3C validator