Theorem lmod1cl 13410

Description: The ring unity in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1cl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmod1cl.k	|- K = ( Base ` F )
lmod1cl.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmod1cl	|- ( W e. LMod -> .1. e. K )

Proof of Theorem lmod1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1cl.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 13390	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmod1cl.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4		lmod1cl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` F )
5	3, 4	ringidcl 13208	. 2 |- ( F e. Ring -> .1. e. K )
6	2, 5	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> .1. e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   Basecbs 12464  Scalarcsca 12541   1rcur 13147   Ringcrg 13184   LModclmod 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384

This theorem is referenced by:  lmodvs1  13411  lmodfopnelem2  13420  lmodfopne  13421  lmodvneg1  13425  lmodcom  13428  lssvsubcl  13457  lssvacl  13466